Ejercicio 3.1 · Matemáticas II PAU Aragón Ordinaria 2025

3. Elige entre 3.1 y 3.2, respondiendo únicamente uno de los dos.

3.1 Queremos aproximar la función $f(x) = e^x$, con $x$ en el intervalo $[0, 1]$, por otra función $g_m(x) = mx$ con $m$ un parámetro en $\mathbb{R}$. Definimos como error de la aproximación la expresión

$$\mathrm{err}(m) = \int_0^1 (f(x) - g_m(x))^2 \, dx.$$

a)

(1,5 puntos) Comprueba que $\mathrm{err}(m) = \frac{e^2}{2} - \frac{1}{2} - 2m + \frac{m^2}{3}$ con $m \in \mathbb{R}$. Escribe los pasos del desarrollo del cálculo de la integral:

b)

(1 punto) ¿Cuál es el valor de $m \in \mathbb{R}$ que minimiza el error? ¿Cuál será el valor mínimo del error?