Problema 4 · Matemáticas II PAU Aragón Ordinaria 2024

Demuestra que, entre todos los rectángulos de perímetro P cm, el de mayor área es el cuadrado.

Solución: Sean $x$ e $y$ los lados del rectángulo. La ligadura es el perímetro: $$2x + 2y = P \implies y = \frac{P}{2} - x$$ La función a maximizar es el área: $$A(x) = x \cdot y = x\left(\frac{P}{2} - x\right) = \frac{P}{2}x - x^2$$ Derivando respecto a $x$: $$A'(x) = \frac{P}{2} - 2x$$ Igualando a cero para encontrar los puntos críticos: $$\frac{P}{2} - 2x = 0 \implies x = \frac{P}{4}$$ Comprobamos que es un máximo calculando la segunda derivada: $$A''(x) = -2 < 0$$ Por tanto, en $x = \frac{P}{4}$ hay un máximo relativo y absoluto. Calculamos el otro lado: $$y = \frac{P}{2} - \frac{P}{4} = \frac{P}{4}$$ Como $x = y = \frac{P}{4}$, los lados son iguales, demostrando que el rectángulo de mayor área es el cuadrado.