Bloque B - Ejercicio 2 · Dibujo técnico II PAU Andalucía Examen C 2020

Dado el punto B y la homología afín ortogonal definida por los pares de puntos homólogos A-A' y M≡M', se pide: 1. Determinar el eje de afinidad. 2. Representar el cuadrado ABCD sabiendo que no corta al eje de afinidad, así como su figura homóloga. 3. Dibujar la circunferencia inscrita en el cuadrado ABCD y su cónica homóloga, determinando sus ejes.

Solución: 1. Eje de afinidad: - Es la recta que pasa por el punto doble $M \equiv M'$ y es perpendicular a la dirección de afinidad, dada por la recta $AA'$. 2. Cuadrado $ABCD$ y su homólogo $A'B'C'D'$: - Con el lado $AB$ se construye el cuadrado $ABCD$ en el semiplano que no corta al eje de afinidad, es decir, levantando las perpendiculares a $AB$ en $A$ y en $B$ hacia el lado contrario al eje. - Afines de $B$, $C$ y $D$: - La recta $AB$ corta al eje en el punto doble $1 \equiv 1'$; su recta afín es $1'A'$. - La paralela a $AA'$ por $B$ corta a la recta $1'A'$ en $B'$. - Del mismo modo se obtienen $C'$ y $D'$, y resulta el paralelogramo $A'B'C'D'$. 3. Circunferencia inscrita y elipse afín: - Centro $O$: intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. - Radio: la mitad del lado del cuadrado; la circunferencia es tangente a los cuatro lados en sus puntos medios. - El afín de $O$, $O'$, es el centro de la elipse afín. - La afinidad es ortogonal, así que los ejes de la elipse proceden de los dos diámetros de la circunferencia paralelo y perpendicular al eje de afinidad: - El diámetro paralelo al eje se transforma en un segmento paralelo al eje de la misma longitud ($2r$). - El diámetro perpendicular al eje se transforma en un segmento perpendicular al eje. - Sus imágenes por $O'$ son los ejes de la elipse, y sus longitudes dan los semiejes mayor y menor. - Con esos ejes se traza la elipse afín, que es tangente a los lados de $A'B'C'D'$ en los afines de los puntos de tangencia.