Ejercicio 3.a · Álgebra UOC Examen Final de Álgebra

Tema: Espacios vectoriales: dependencia lineal, bases y dimensión · Del examen Examen Final de Álgebra

Enunciado

Ejercicio 3. Subespacios vectoriales y cambio de base

Dados los vectores de R3\mathbb{R}^3:

v1=(1,0,−2),v2=(0,1,−1),v3=(2,−2,−2),v4=(−1,2,0),v5=(4,2,−10)v_1 = (1, 0, -2), \quad v_2 = (0, 1, -1), \quad v_3 = (2, -2, -2), \quad v_4 = (-1, 2, 0), \quad v_5 = (4, 2, -10)

y el subespacio generado E=⟨v1,v2,v3,v4,v5⟩E = \langle v_1, v_2, v_3, v_4, v_5 \rangle. Sea asimismo w=(a+2,−2,−2a−2)w = (a + 2, -2, -2a - 2).

a.

Determine la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación, justificando la respuesta:

La dimensión del subespacio EE es 2.

Enunciado: Ejercicio 3.a · Álgebra UOC Examen Final de Álgebra

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Veracidad o falsedad de la afirmación «La dimensión del subespacio E es 2»

Solución: Verdadero

Justificación de la afirmación «La dimensión del subespacio E es 2»

Solución: Planteamos la matriz con los vectores por filas: (10−201−12−2−2−12042−10)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & -10 \end{pmatrix} Observamos que: - v3=2v1−2v2=2(1,0,−2)−2(0,1,−1)=(2,−2,−2)v_3 = 2v_1 - 2v_2 = 2(1,0,-2) - 2(0,1,-1) = (2,-2,-2) - v4=−v1+2v2=−(1,0,−2)+2(0,1,−1)=(−1,2,0)v_4 = -v_1 + 2v_2 = -(1,0,-2) + 2(0,1,-1) = (-1,2,0) - v5=4v1+2v2=4(1,0,−2)+2(0,1,−1)=(4,2,−10)v_5 = 4v_1 + 2v_2 = 4(1,0,-2) + 2(0,1,-1) = (4,2,-10) Todos los generadores son combinación lineal de {v1,v2}\{v_1, v_2\}, los cuales son claramente linealmente independientes. Por tanto, dim⁡(E)=2\dim(E) = 2.

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