Pregunta 3 · Fundamentos de Matemáticas UOC 2020

Averiguad qué valor o valores debe tomar el parámetro para que la terna de vectores dada constituya una base del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$.

Solución: Un conjunto de tres vectores en $\mathbb{R}^3$ constituye una base si y solo si dichos vectores son linealmente independientes: - Se construye la matriz cuyas columnas son los tres vectores en función del parámetro. - Los vectores son linealmente independientes si el rango de dicha matriz es igual a 3, lo cual equivale a exigir que su determinante sea no nulo: $\det(M) \neq 0$. - Se calcula el determinante en función del parámetro y se iguala a cero para hallar los valores críticos. - Para todos los valores del parámetro distintos de estas raíces de la ecuación determinante, los vectores son linealmente independientes y, en consecuencia, forman una base de $\mathbb{R}^3$.