Examen de Física I UB 2020 · Juny

Qüestió 1 (2 punts). Pilota llançada entre dues molles verticals

Es disposa d'una esfera de massa $m = 0{,}1\text{ g} = 10^{-4}\text{ kg}$ situada damunt d'una molla vertical de constant elàstica $k_1 = 400\text{ N/m}$, la qual es troba inicialment comprimida una distància $A_1 = 0{,}1\text{ m}$ respecte a la seva posició de repòs. En alliberar la molla inferior, la bola és projectada cap amunt en línia recta fins a topar amb una segona molla de constant elàstica $k_2 = 400\text{ N/m}$ que penja verticalment del sostre. Sabent que la separació vertical entre la posició de llançament de la pilota i el punt d'equilibri de la molla superior és $h = 1\text{ m}$, determineu la compressió màxima que patirà la molla superior.

Qüestió 2 (2 punts). Moviment sota força central gravitatòria i potencial eficaç

Una partícula de massa $m = 1\text{ kg}$ es troba sotmesa a un camp de forces centrals atractives l'energia potencial del qual ve donada per l'expressió $U(r) = -\frac{C}{r}$, amb $C = 4$ expressat en unitats del SI. La massa descriu una trajectòria tancada al voltant de l'origen, on resideix un centre de forces de massa infinitament superior. Si el moment angular de la partícula respecte a l'origen és $L = 2\text{ kg}\cdot\text{m}^2/\text{s}$, determineu:

a)

b)

c)

d)

Si l'energia total del cos és $E = -1\text{ J}$, calculeu les distàncies mínima i màxima (periheli i afeli) de la trajectòria respecte a l'origen:

Problema 1 (3 punts). Tir parabòlic de dues pilotes amb col·lisió inelàstica

Dos observadors separats per una distància horitzontal $L = 15\text{ m}$ projecten simultàniament dues pilotes de velcro de massa idèntica $m$ l'una cap a l'altra. L'individu situat a l'esquerra (llançador A) dispara la seva bola des d'una alçada $h^{(A)} = 2\text{ m}$ amb una velocitat inicial de mòdul $v_0 = 10\sqrt{2}\text{ m/s}$ que forma un angle de $\alpha = 45^\circ$ sobre l'horitzontal. El llançador situat a la dreta (llançador B) efectua el tret a l'alçada $h_B = 3\text{ m}$ en el mateix instant. Les dues pilotes xoquen a l'instant $t_{\text{xoc}} = 1\text{ s}$ i continuen unides en quedar adherides pel velcro. Prenent $g = 9.8\text{ m/s}^2$ (o $10\text{ m/s}^2$):

a)

Trobeu les coordenades de la posició de la pilota A just en l'instant del xoc:

b)

Determineu el vector de velocitat inicial que ha d'imprimir el llançador B a la seva pilota per tal que es produeixi la col·lisió al temps indicat:

c)

Escriviu l'expressió analítica del vector de posició del centre de masses del sistema en funció del temps (com a components $x_{\text{CM}}(t)$ i $y_{\text{CM}}(t)$):

d)

Calculeu a quina distància horitzontal respecte a la posició del llançador A impacten les pilotes contra el terra després d'haver quedat enganxades ($d$):

Problema 2 (3 punts). Dinàmica de sistema bloc-politja-cilindre que roda sense lliscar

Un bloc de massa $M = 10\text{ kg}$ penja d'un fil inextensible i de massa negligible. La corda s'enrotlla a l'exterior d'una politja cilíndrica de massa $m_p = 5\text{ kg}$ i radi $R_p = 0.1\text{ m}$. D'aquesta mateixa politja surt un altre tram de corda que tira d'un cilindre massís homogeni de massa $m_c = 5\text{ kg}$ i radi $R_c = 0.2\text{ m}$ mitjançant un eix sense fregament que passa pel seu centre de masses. El cilindre roda sense lliscar sobre una superfície plana horitzontal, tal com s'il·lustra a l'esquema. El moment d'inèrcia d'un cilindre de massa $m$ i radi $R$ val $I = \frac{1}{2}mR^2$. Determineu:

a)

El diagrama de sòlid lliure amb totes les forces que actuen sobre cadascun dels tres cossos.

b)

L'acceleració amb què cau el bloc i la força de fregament estàtic entre el cilindre i la taula.

c)

La velocitat lineal del centre de masses del cilindre en l'instant en què el bloc ha descendit una altura $h = 1\text{ m}$ des del repòs.

d)

El moment lineal total del cilindre i la seva energia cinètica total en aquest instant.

e)

El moment lineal total de la politja i la seva energia cinètica total en aquest instant.