Problema 1 · Física UB 2019

a. Determineu la distribució de càrregues tant a l'esfera com a l'escorça conductora.

Solución: $\rho = \frac{3Q}{4\pi a^3}$, $\sigma_b = -\frac{Q}{4\pi b^2}$, $\sigma_c = +\frac{Q}{2\pi c^2}$

b. Calculeu el vector camp elèctric a totes les regions de l'espai, detallant el procediment seguit.

Solución: $\vec{E} = \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 a^3}\vec{a}_r$ ($r < a$); $\vec{E} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{a}_r$ ($a < r < b$); $\vec{E} = 0$ ($b < r < c$); $\vec{E} = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{a}_r$ ($r > c$)

c. Dibuixeu el gràfic de la funció mòdul del camp elèctric E(r).

Solución: Gràfica de $E(r)$ amb quatre zones: 1. De $r = 0$ a $r = a$: creixement lineal des de 0 fins a $E(a) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 a^2}$. 2. De $r = a$ a $r = b$: descens hiperbòlic proporcional a $1/r^2$. 3. De $r = b$ a $r = c$: $E = 0$ bruscament a l'interior del conductor. 4. A $r = c$: salt discontinu fins a $E(c^+) = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 c^2}$, seguit d'un decaïment continu suau segons $1/r^2$ cap a zero.

d. Prenent com a referència de potencial nul l'infinit, calculeu el potencial elèctric de l'escorça conductora.

Solución: $V(c) = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 c}$