Problema 1 · Física UB Juny 2019

a. La densitat superficial de càrrega a cadascuna de les quatre superfícies esfèriques.

Solución: $\sigma_a = 0$, $\sigma_b = \frac{+Q}{4\pi b^2}$, $\sigma_c = -\frac{Q}{4\pi c^2}$, $\sigma_d = 0$

b. El vector camp elèctric en totes les regions de l'espai en funció de la distància radial r.

Solución: $\vec{E} = \vec{0}$ per a $r < b$, $c < r < d$ i $r > d$; $\vec{E} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{a}_r$ per a $b < r < c$.

c. La capacitat elèctrica del condensador.

Solución: $C = \frac{4\pi\varepsilon_0 c b}{c - b}$

d. L'energia electrostàtica emmagatzemada en el dispositiu.

Solución: $U = \frac{1}{2}\frac{Q^2}{C} = \frac{Q^2(c - b)}{8\pi\varepsilon_0 c b}$

e. Repetiu els apartats a) i b) suposant que, un cop carregat el condensador, es desconnecta de la font de tensió i posteriorment s'introdueix una càrrega puntual addicional +Q exactament al centre del sistema.

Solución: Densitats: $\sigma_a = -\frac{Q}{4\pi a^2}$, $\sigma_b = +\frac{2Q}{4\pi b^2} = +\frac{Q}{2\pi b^2}$, $\sigma_c = -\frac{2Q}{4\pi c^2} = -\frac{Q}{2\pi c^2}$, $\sigma_d = +\frac{Q}{4\pi d^2}$. Camps: $\vec{E}(r<a) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{a}_r$; $\vec{E}(a<r<b) = \vec{0}$; $\vec{E}(b<r<c) = \frac{2Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{a}_r = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{a}_r$; $\vec{E}(c<r<d) = \vec{0}$; $\vec{E}(r>d) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{a}_r$.