Examen de Fundamentos de Mecánica UB 2015 · síntesi: Gener 2015

P.1 (2.5 punts). Cilindre i bloc units sobre pla inclinat

Un cilindre homogeni de massa $M$ i radi $R$ davalla rodolant sense lliscar per un pla que forma un angle $\alpha$ respecte de l'horitzontal. El seu eix de rotació està connectat mitjançant una corda inextensible i de massa negligible a un bloc de massa $m$, el qual llisca pla avall. La corda es manté en tot moment paral·lela a la superfície inclinada. Els coeficients de fregament entre els cossos i el pla inclinat són comuns per a ambdós: estàtic $\mu_e$ i dinàmic $\mu_d$, assumint que els seus valors permeten mantenir la corda sota tensió.

Determineu:

a.

El diagrama de forces de tots els elements que intervenen sobre el dibuix.

b.

L'expressió algebraica i el valor de l'acceleració amb què baixa el bloc.

c.

La tensió a la qual està sotmesa la corda.

d.

La força de fregament que actua sobre el bloc i la que suporta el cilindre.

e.

La variació d'energia cinètica experimentada pel cilindre en completar un gir complet al voltant del seu eix de simetria.

P.1 (2.5 punts). Cilindre i bloc units sobre pla inclinat

Un cilindre homogeni de massa $M$ i radi $R$ davalla rodolant sense lliscar per un pla que forma un angle $\alpha$ respecte de l'horitzontal. El seu eix de rotació està connectat mitjançant una corda inextensible i de massa negligible a un bloc de massa $m$, el qual llisca pla avall. La corda es manté en tot moment paral·lela a la superfície inclinada. Els coeficients de fregament entre els cossos i el pla inclinat són comuns per a ambdós: estàtic $\mu_e$ i dinàmic $\mu_d$, assumint que els seus valors permeten mantenir la corda sota tensió.

Q.1 (1.5 punts). Xoc elàstic i compressió d'una molla

Un bloc de massa $m_1 = m$ es desplaça horitzontalment sobre una taula sense fregament a una velocitat $v_0$ i col·lideix de manera totalment elàstica contra un segon cos de massa $m_2 = 2m$, el qual es troba inicialment en repòs. Immediatament després de l'impacte, el segon bloc es desplaça i xoca contra una molla horitzontal de constant elàstica $k$, comprimint-la una longitud $d$ fins a aturar-se instantàniament.

Calculeu:

a)

Les velocitats $v_1$ i $v_2$ de cadascun dels blocs després de la col·lisió, expressades en funció de $v_0$:

b)

L'energia cinètica adquirida pel segon bloc just en acabar el xoc, $E_{c2}$ (en funció de $m$ i $v_0$):

c)

La velocitat que portava inicialment el primer bloc ($v_0$) en funció de $d$, $k$ i $m$:

Q.2 (1.5 punts). Xoc inelàstic projectil-vareta lliure

Una vareta prima i homogènia de massa $M$ i longitud $L$ reposa sobre un pla horitzontal exempt de fricció. Un projectil puntual de massa $m = M$ que viatja a una velocitat $v$ perpendicular a la vareta impacta contra un dels seus extrems i hi queda incrustat.

3 Q.2 (1.5 punts). Xoc inelàstic projectil-vareta lliure

Una vareta prima i homogènia de massa $M$ i longitud $L$ reposa sobre un pla horitzontal exempt de fricció. Un projectil puntual de massa $m = M$ que viatja a una velocitat $v$ perpendicular a la vareta impacta contra un dels seus extrems i hi queda incrustat.

Determineu:

a.

La velocitat amb què es desplaça el centre de masses del sistema just després del xoc (expressada en funció de $v$):

b.

La velocitat angular de rotació del conjunt al voltant del seu nou centre de masses (expressada en funció de $v$ i $L$):

c.

La pèrdua d'energia mecànica (energia cinètica dissipada, en valor absolut) en el procés de xoc (expressada en funció de $M$ i $v$, o $m$ i $v$):

Q.2 (1.5 punts). Xoc inelàstic projectil-vareta lliure

Una vareta prima i homogènia de massa $M$ i longitud $L$ reposa sobre un pla horitzontal exempt de fricció. Un projectil puntual de massa $m = M$ que viatja a una velocitat $v$ perpendicular a la vareta impacta contra un dels seus extrems i hi queda incrustat.

P.2 (2.5 punts). Camp gravitatori i oscil·lacions de quatre masses quadrangulars

Quatre partícules d'idèntica massa $m$ es disposen en repòs als quatre vèrtexs d'un quadrat de costat $l$ situat en el pla horitzontal $XY$, centrat en l'origen de coordenades.

a.

Determineu el camp gravitatori $\vec{g}(z)$ creat pel conjunt en qualsevol punt situat sobre l'eix $Z$ (perpendicular al pla del quadrat i que passa pel seu centre).

b.

Trobeu el comportament asimptòtic d'aquest camp a grans distàncies ($z \gg l$).

c.

Calculeu el potencial gravitatori $V(z)$ al llarg dels punts del mateix eix $Z$, prenent com a referència nul·la l'infinit.

d.

Identifiqueu la posició d'equilibri estable per a una partícula de massa $M$ confinada a moure's lliurement al llarg d'aquest eix, i deduïu el període de les petites oscil·lacions al voltant d'aquesta posició d'equilibri.

e.

Avalueu numèricament el període calculat per als valors $m = 10^{10}\text{ kg}$, $l = 10\text{ m}$ i $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\text{ m}^3\text{ kg}^{-1}\text{ s}^{-2}$.