Ejercicio P.2 · Fundamentos de Mecánica UB 2015

Q.2 (1.5 punts). Xoc inelàstic projectil-vareta lliure

Una vareta prima i homogènia de massa $M$ i longitud $L$ reposa sobre un pla horitzontal exempt de fricció. Un projectil puntual de massa $m = M$ que viatja a una velocitat $v$ perpendicular a la vareta impacta contra un dels seus extrems i hi queda incrustat.

P.2 (2.5 punts). Camp gravitatori i oscil·lacions de quatre masses quadrangulars

Quatre partícules d'idèntica massa $m$ es disposen en repòs als quatre vèrtexs d'un quadrat de costat $l$ situat en el pla horitzontal $XY$, centrat en l'origen de coordenades.

a.

Determineu el camp gravitatori $\vec{g}(z)$ creat pel conjunt en qualsevol punt situat sobre l'eix $Z$ (perpendicular al pla del quadrat i que passa pel seu centre).

b.

Trobeu el comportament asimptòtic d'aquest camp a grans distàncies ($z \gg l$).

c.

Calculeu el potencial gravitatori $V(z)$ al llarg dels punts del mateix eix $Z$, prenent com a referència nul·la l'infinit.

d.

Identifiqueu la posició d'equilibri estable per a una partícula de massa $M$ confinada a moure's lliurement al llarg d'aquest eix, i deduïu el període de les petites oscil·lacions al voltant d'aquesta posició d'equilibri.

e.

Avalueu numèricament el període calculat per als valors $m = 10^{10}\text{ kg}$, $l = 10\text{ m}$ i $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\text{ m}^3\text{ kg}^{-1}\text{ s}^{-2}$.