Examen de Electromagnetismo UB 2015 · Setembre

Problema 1 (1,7 punts). Dielèctric esfèric no homogeni

Considerem una regió esfèrica de radi $R$ constituïda per un medi dielèctric lineal i heterogeni, tal com s'il·lustra a l'esquema:

Per a punts interiors ($r < R$), utilitzant coordenades cilíndriques, la susceptibilitat elèctrica val $\chi = \frac{rz}{R^2}$ i el vector camp elèctric respon a:

$$\vec{E} = \frac{E_0}{R^3}\left(r^2 z\,\vec{u}_z + z^2 r\,\vec{u}_r\right)$$

Resoleu els apartats següents:

a.

$V_A - V_B =$

V

b.

$\rho_p =$

c.

$\rho =$

d.

$\sigma_p =$

Problema 2 (1,7 punts). Escorça cilíndrica de conductivitat variable

Una peça conductora té geometria d'escorça cilíndrica buida de longitud $h$, amb radi interior $a$ i radi exterior $b$. El seu material presenta una conductivitat depenent del radi segons la relació $\gamma(r) = Cr$, on $C$ és un coeficient constant conegut.

a)

Trobeu la resistència òhmica que s'obté en situar dos elèctrodes en les dues bases planes oposades.

b)

Trobeu la resistència elèctrica mesurada entre les superfícies corbes interna i externa.

c)

Assumint la configuració del primer apartat, quan s'aplica una diferència de potencial $V$ entre les bases, determineu la densitat de dissipació de potència de Joule en cada punt i deduïu-ne la potència total dissipada.

Problema 3 [1,6 punts]. Làmina infinita amb cavitat cilíndrica

Una capa plana conductora indefinida en les direccions $y$ i $z$ té un gruix total $2d$ ocupant la regió $-d \le x \le +d$. Per ella flueix un corrent homogeni i estacionari amb densitat $\vec{j} = j_0 \vec{a}_z$.

a.

Determineu el camp d'inducció magnètica $\vec{B}$ en qualsevol posició de l'espai.

b.

Si es perfora una cavitat cilíndrica buida buidada al llarg de l'eix $z$ de radi $a$ centrada a l'origen ($a < d$), deduïu el camp magnètic resultant a l'interior d'aquest buit expressat en components cartesianes.

Qüestió 1 [0,25 punts]. Potencial elèctric dipolar esfèric

Se sap que el potencial electrostàtic en una regió buida està descrit en coordenades esfèriques per $V(r,\theta) = \frac{A\cos\theta}{r^2}$, essent $A$ un paràmetre constant no nul. Indiqueu quina de les declaracions següents és falsa:

Qüestió 2 (0,25 punts). Potencials esfèrics a banda i banda d'una frontera

En un domini de simetria esfèrica format per medis dielèctrics lineals, isòtrops i homogenis, una frontera esfèrica de radi $R$ separa dues zones amb les funcions de potencial següents ($A = \mathrm{ct}$):

$$V(r) = -\frac{A}{2} \left[(2\varepsilon_r + 1)R^2 - r^2\right] \quad (\text{per a } r < R); \qquad V(r) = \frac{\varepsilon_r A R^3}{r} \quad (\text{per a } r > R)$$

Assenyaleu quina de les proposicions és falsa:

Qüestió 3 (0,25 punts). Dielèctric homogeni amb densitat volúmica uniforme

Un volum està omplert per una càrrega uniforme de densitat constant $\rho$, envoltada per un dielèctric lineal, homogeni i isòtrop de permitivitat $\varepsilon$. En règim electrostàtic, quina d'aquestes afirmacions és falsa ?

Qüestió 4 (0,25 punts). Propietats de camp a la superfície d'un conductor

Considerem un conductor carregat en equilibri estàtic immers en un medi dielèctric no limitat. Quina de les asseveracions següents és necessàriament certa a la seva superfície?

Qüestió 5 (0,25 punts). Coeficients d'influència electrostàtica

En una configuració formada per tres conductors en règim d'influència electrostàtica es mesuren els coeficients de capacitat $a_{11} = 18\text{ pF}$, $a_{22} = 9\text{ pF}$ i $a_{33} = 3\text{ pF}$. Quina de les combinacions següents pot correspondre de forma física als coeficients d'influència?

Qüestió 6 (0,25 punts). Conductor a terra en un sistema de tres cossos

En un conjunt de tres conductors, el conductor 1 està posat a terra ($V_1 = 0$), mentre que els altres dos es troben fixats als potencials $V_2 = -3V_0$ i $V_3 = +3V_0$. Quina afirmació sobre la càrrega neta $Q_1$ és certa?

Qüestió 7 [0,25 punts]. Força sobre dielèctrics parcialment introduïts

Entre les armadures paral·leles d'un condensador connectat a una font de tensió contínua s'introdueixen dos blocs dielèctrics contigus de permitivitats $\varepsilon_1$ i $\varepsilon_2$ (amb $\varepsilon_1 < \varepsilon_2$), segons s'indica a la figura:

Quina és l'orientació de la força elèctrica neta experimentada pel conjunt dels dielèctrics?

Qüestió 8 (0,25 punts). Densitat de càrrega a la unió de dos conductors

Dos medis conductors de paràmetres $(\gamma_1, \varepsilon_1)$ i $(\gamma_2, \varepsilon_2)$ estan en contacte mitjançant una superfície plana de separació de normal unitària $\vec{n}$. Si una densitat de corrent constant $\vec{j}$ incideix des del medi 1 sobre la frontera:

Trieu l'opció correcta:

Qüestió 9 (0,25 punts). Camp magnètic en toroide amb materials diversos

Considerem tres toroides bobinats de característiques geomètriques idèntiques i amb un mateix nombre $N$ d'espires alimentades pel mateix corrent continu $I$. El primer disposa d'un nucli paramagnètic, el segon d'un nucli diamagnètic, i el tercer té l'interior buit. Quina relació d'ordre guarden els mòduls dels camps magnètics $B_1$, $B_2$, $B_3$?

.

Qüestió 10 (0,25 punts). Discontinuïtat de la component tangencial del camp magnètic

Per una superfície $S$ circula un corrent superficial de densitat $\vec{k}$ orientat perpendicularment al pla del dibuix. Quina de les representacions següents satisfà les lleis fonamentals del camp magnètic a la frontera?

.

Qüestió 11 (0,25 punts). Relació entre B, H i M en medis magnètics

Quin és el requisit mínim que ha de complir un material magnètic perquè els vectors $\vec{B}$, $\vec{H}$ i $\vec{M}$ mantinguin la mateixa direcció en qualsevol punt?

Qüestió 12 (0,25 punts). Modificació de coeficients d'autoinducció i inducció mútua

Es tenen dos circuits magnèticament acoblats formats per dues bobines de $N_1$ i $N_2$ espires. Sense alterar la forma geomètrica, posició ni orientació mútua, es triplica el nombre d'espires del primer circuit ($N_1' = 3N_1$) i es duplica el del segon ($N_2' = 2N_2$). Quins són els nous valors dels coeficients d'inducció?

Qüestió 13 (0,25 punts). Força magnètica en barres sobre rails conductors

En el muntatge sobre rails conductors paral·lels de la figura, sotmès a un camp magnètic uniforme $\vec{B}$ orientat cap a l'interior, la tija (1) es desplaça cap a la dreta amb velocitat constant $\vec{v}$ en direcció a la barra (2), que inicialment està parada:

Quina és l'afirmació encertada respecte a la dinàmica de la barra mòbil (1)?

Qüestió 14 [0,25 punts]. Sentit de la FEM induïda entre espires coplanàries

Dues espires circulars conductores concèntriques estan situades sobre el mateix pla. Per l'espira externa circula una intensitat variable segons es descriu en cadascun dels quatre diagrames ($↑$ indica increment de corrent amb el temps, $↓$ denota disminució):

En quins dels casos es generarà un corrent induït de sentit horari a l'espira petita interior?

Qüestió 15 [0,25 punts]. Corrent de desplaçament en condensador cilíndric

Un condensador cilíndric d'armadures coaxials està alimentat per un generador de tensió alterna sinusoidal:

Quina és la direcció de les línies del corrent de desplaçament en el volum dielèctric comprès entre ambdues plaques?

Qüestió 16 (0,25 punts). Separació de plaques en condensador aïllat

Tenim un condensador pla carregat i elèctricament aïllat de qualsevol font, de manera que la seva càrrega $Q$ roman estrictament constant. Si s'incrementa la distància de separació entre les seves plaques paral·leles, quina afirmació és correcta?

Qüestió 17 (0,25 punts). Connexió de cèl·lules fotovoltaiques en sèrie i paral·lel

Pel que fa a l'associació elèctrica de dues cèl·lules solars fotovoltaiques idèntiques, indiqueu quina afirmació és correcta:

Qüestió 18 (0,25 punts). Disseny de voltímetre ampliant escala mitjançant resistències

Es disposa d'un galvanòmetre/voltímetre de laboratori amb un rang de mesura de 0 a 1 V. Es pretén utilitzar-lo per mesurar tensions fins a un fons d'escala de 20 V emprant una combinació de dues resistències. Quins valors garanteixen un funcionament correcte?

Qüestió 19 [0,25 punts]. Comportament d'un circuit RLC en ressonància

Considereu un circuit sèrie format per resistència, autoinducció i condensador ($RLC$). Quina de les afirmacions següents és correcta?

Pregunta anul·lada oficialment

Cap de les quatre opcions és correcta en el text original de l'examen. Segons la plantilla oficial de correcció, la pregunta va ser anul·lada i computada amb la màxima puntuació.

Qüestió 20 (0,25 punts). Temps característic de descàrrega amb resistències en paral·lel

Un condensador es descarrega a través d'una resistència $R_1$ amb una constant de temps associada de $4,0\text{ }\mu\text{s}$. Quan el mateix condensador es connecta a una segona resistència $R_2$, la descàrrega té una constant de $6,0\text{ }\mu\text{s}$. Quant val la constant de temps quan el condensador es descarrega a través de l'associació en paral·lel de $R_1$ i $R_2$?