Examen de Electromagnetismo UB 2015 · final gener 2015 (1a part)

Problema 1 (2 punts). Esfera dielèctrica i closca conductora

Es disposa d'una esfera de material dielèctric de radi $a$, la permitivitat relativa de la qual varia segons la posició radial d'acord amb $\varepsilon_r(r) = \frac{4a}{r+a}$. L'esfera conté una càrrega elèctrica distribuïda de manera uniforme amb densitat volúmica $\rho$. Cobrint aquesta esfera, es troba una closca esfèrica de material conductor amb un radi intern $a$ i un radi extern $b$, la qual està connectada a presa de terra.

Trobeu:

a.

El vector camp elèctric a totes les regions de l'espai.

b.

Les densitats superficials de càrrega induïdes a les superfícies interior i exterior de la closca conductora.

c.

El potencial elèctric al centre de l'esfera dielèctrica.

d.

Totes les densitats de càrrega de polarització (tant superficials com volúmiques).

Problema 2 (1,5 punts). Semiescorça cilíndrica i resistència elèctrica

Una peça conductora té forma de semiescorça cilíndrica buida de radi intern $a$, radi extern $b$ i altura $c$. La seva conductivitat elèctrica no és homogènia i depèn de la distància radial a l'eix segons l'expressió $\gamma(r) = \frac{\gamma_0 a}{r}$, on $\gamma_0$ és una constant positiva amb unitats de conductivitat. Sobre les cares planes laterals (superfícies ombrejades en gris) es col·loquen elèctrodes conductors ideals perfectes.

Determineu:

a.

Esboceu la configuració dels tubs de corrent identificant la secció corresponent.

b.

c.

Problema 3 [1,5 punts]. Solenoide toroïdal amb nucli magnètic

Es considera un toroide de secció quadrada de costat $a$ i radi interior $a$ (de manera que el radi exterior és $2a$), sobre el qual s'han bobinat uniformement $N$ espires per les quals circula un corrent elèctric d'intensitat $I$. L'interior del toroide està completament farcit d'un medi magnètic lineal i isòtrop de permeabilitat relativa $\mu_r$.

Calculeu:

a)

El camp magnètic $\vec{B}$ a qualsevol punt de l'interior del toroide ($a < r < 2a$).

b)

Les densitats de corrent de magnetització superficials i volúmiques, indicant el seu sentit físic de circulació, i compareu la seva magnitud amb la del corrent superficial lliure degut a les espires.

c)

El coeficient d'autoinducció $L$ del sistema.