Prova pràctica de Matemàtiques amb R

Exercici 1. Extrems de la fracció de substància

Es considera una funció $f(t)$ que modelitza la fracció d'una substància romanent en el fluid intercel·lular en funció del temps $t$ transcorregut després d'una punció.

a.

Representeu gràficament la funció mitjançant R, identifiqueu els seus extrems relatius i determineu el valor que pren la funció en cadascun d'aquests punts crítics.

Exercici 2. Integració de l'emissió de contaminant

Suposem una funció $f(t)$ que descriu la taxa d'emissió d'un contaminant en cada instant $t$, vàlida per a l'interval $t \in [0, 1]$ (per exemple, de 9 h a 10 h del matí).

a.

Dibuixeu la funció en l'interval $[0, 1]$ i calculeu la quantitat acumulada de contaminant emès al llarg d'aquesta hora mitjançant la integral definida $\int_0^1 f(t)\,dt$.

Exercici 3. Resolució d'una equació diferencial

Es considera una equació diferencial $\frac{dy}{dt} = g(t, y)$ amb condició inicial $y(0) = y_0$, la qual descriu l'evolució de la concentració d'una determinada substància a la sang.

a.

Representeu gràficament la trajectòria de la solució per a un interval de temps prou ampli i determineu numèricament el valor concret de la substància en l'instant $t = 2$.

Exercici 4. Sistema preses-depredadors

Es planteja un sistema d'equacions diferencials que modela la interacció anual entre dues espècies: preses ($x$) i depredadors ($y$).

a.

Prenent com a poblacions inicials 8 preses i 3 depredadors ($x(0) = 8, y(0) = 3$), calculeu la quantitat d'individus de cada espècie al cap de $t = 1$, $t = 5$, $t = 10$, $t = 20$ i $t = 50$ anys.

Interpreteu el comportament dinàmic i establiu conclusions.