Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos

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APUNTES MATEMÁTICAS Grado en Biología Universidad de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apuntes de Matemáticas para Biología (UB): exponencial, logaritmos, derivación, métodos de integración y números complejos en forma binómica y polar.

APREN.AI Índice 1 Funciones exponencial y logarítmica El número e y la función exponencial Leyes de los exponentes y derivación Función logarítmica Propiedades logarítmicas y base arbitraria 2 Cálculo diferencial e integral Definición e interpretación geométrica de la derivada Reglas de derivación Cálculo de primitivas y métodos de integración 3 Números complejos: forma binómica y operaciones Definición y estructura binómica Operaciones en forma binómica Inverso, conjugado y división Cálculo de raíces cuadradas algebraicas 4 Forma polar, potencias y raíces n-ésimas Representación en el plano y forma polar Operaciones en forma polar y potencias Raíces n-ésimas de un número complejo 5 Formulario Funciones exponencial y logarítmica Cálculo diferencial e integral Números complejos en forma binómica Forma polar y raíces n-ésimas Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 1 1 Funciones exponencial y logarítmica AL ACABAR SABRÁS Calcular derivadas y transformaciones algebraicas de funciones exponenciales y logarítmicas. Resolver ecuaciones simples convirtiendo expresiones logarítmicas en potencias. Distinguir el crecimiento y asíntotas de exponenciales según el valor de su base. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué la función exponencial nunca puede tomar un valor negativo ni ser igual a cero? El número e y la función exponencial El número e se define mediante el límite .

La función exponencial estándar asocia a cada número real la potencia . Es una función continua, derivable indefinidamente (infinitas veces) y estrictamente positiva, cumpliendo que y . Para una base general con , el comportamiento gráfico depende de la magnitud de la base frente a la unidad: Gráfica de funciones exponenciales según la base sea mayor o menor que 1. Cuando la base es estrictamente mayor que 1, la función resulta estrictamente creciente y verifica . Si la base satisface , la función es decreciente.

Leyes de los exponentes y derivación Las propiedades algebraicas de la exponencial aseguran que: , deduciéndose La derivada coincide con la propia función: (e^x)' = e^x ex e = lim 1 + = n ( n 1 ) n n=0 n! 1 x e = x n=0 n! xn e = 0 1 e = 1 e a > 0 a = 1 lim e = x x 0 0 < a < 1 e = x+y e x ey e = x y ey ex e = x ex 1 (e ) = x y exy Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 2 Inyectividad: Función logarítmica La función logarítmica en base es por definición la inversa de la función exponencial. Dado , la igualdad equivale exactamente a la expresión exponencial . Notación Base Propiedad recíproca y 10 y Entre los valores clave destacan y .

Para logaritmos en base mayor que 1, se verifica que si y si . Además, la derivada del logaritmo neperiano viene dada por . ERROR FRECUENTE El logaritmo de una suma no es la suma de los logaritmos: . La propiedad correcta aplica exclusivamente a productos: . Propiedades logarítmicas y base arbitraria El álgebra de logaritmos contempla las siguientes relaciones fundamentales: Cociente: , de donde Potencia de un argumento: Cambio de base a neperiano: Derivada en base cualquiera: Exponencial de base general: COMPRUEBA 2 ¿Cómo se resuelve una ecuación de la forma log (x) = -1 aplicando la definición?

PROCESO Paso de ecuación logarítmica a exponencial 1 Ecuación original log_a(x) = y con a > 0 y x > 0 2 Aplicar base a Elevar la base a ambos miembros 3 Forma exponencial x = a^y despejando la incógnita e = x e y = ey ex 1 x = y a x > 0 log x = a y a = y x ln x = log x e e e = ln x x ln(e ) = x x log x 10 = log x x log x a a > 0, a = 1 a = log x a x log (a ) = a x x log 1 = 0 log a = a 1 log x < 0 x < 1 log x > 0 x > 1 (lnx) = x 1 ln(x + y) = lnx + lny ln(xy) = lnx + lny log = (y x ) log x log y log = (x 1 ) log x log(x ) = k k log x log x = a = ln a ln x ln a 1 lnx (log x) = a ln a 1 x 1 a = x e(ln a)x Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 3 IDEAS CLAVE El número es la base natural definida mediante el límite .

La función exponencial es estrictamente positiva, creciente y su derivada coincide consigo misma. El logaritmo neperiano actúa como la inversa exacta de la exponencial: . El logaritmo de una suma jamás se descompone linealmente: . COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 3. ¿Cuál es la expresión equivalente de escrita en base exponencial neperiana? 4. ¿A qué equivale la derivada de la función ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 5. ¿Cuál es el resultado de simplificar ? 6. ¿Qué valor toma (1) para cualquier base a > 0 distinta de 1? 7. ¿Cuál de las siguientes igualdades es matemáticamente correcta? 8. Si a > 1, ¿cómo se comporta la gráfica de y = ?

2 Cálculo diferencial e integral AL ACABAR SABRÁS Interpretar geométricamente la derivada como pendiente de una recta. Aplicar correctamente la regla del producto y la regla de la cadena. Resolver primitivas empleando integración por partes, sustitución y fracciones racionales.

e lim 1 + n ( n 1 ) n ex e = ln x x ln(x + y) = lnx + lny ax log x a ex y -( ) a) ex+y / b) ex ey - c) ex ey d) exy log a 1 a) a b) 0 c) e d) ln(xy) = ln(x)ln(y) a) ln( ) = b) xk (lnx)k ln(x/y) = ln(x) - ln(y) c) ln(x+y) = ln(x) + ln(y) d) ax Decreciente hacia cero a) Estrictamente creciente b) Negativa para x < 0 c) Constante en y = 1 d) Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 4 PIÉNSALO ANTES DE LEER 9 ¿Por qué la integración por partes requiere que una parte del integrando se derive y la otra se integre?

Definición e interpretación geométrica de la derivada Una función es derivable en un punto si existe el límite: Geométricamente, el valor f'(a) representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa . Gráfica de la recta tangente y su pendiente f'(a) en el punto a. Reglas de derivación La derivación es un operador lineal y satisface reglas estructurales para productos y composiciones: Linealidad: y para toda constante . Regla del producto: (fg)' = f'g + fg'. Regla de la cadena: para la composición , la derivada es . EJEMPLO Si se consideran las funciones y , la composición no es conmutativa: mientras que , la inversa compositiva produce .

Cálculo de primitivas y métodos de integración Una función recibe el nombre de primitiva de si su derivada coincide con la función inicial: . A partir de las reglas de derivación se estructuran las principales técnicas de integración: 1.

Integración por partes Nace de integrar la regla del producto , dando lugar a la fórmula: f : R R a R = x a lim x a f(x) f(a) f (a) y = f(x) a (f + g) = f + g (kf) = k(f ) k (f g)(x) = f(g(x)) (f g) (x) = f (g(x)) g (x) f(x) = ex g(x) = sinx (f g)(x) = esin x (g f)(x) = sin(e ) x F f F = f (fg) = f g + fg Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 5 Para integrales cíclicas como , se aplica dos veces consecutivas el método hasta despejar algebraicamente la integral buscada, resultando . 2. Método de cambio de variable Se fundamenta en la regla de la cadena: si se aplica una sustitución con diferencial , se obtiene: EJEMPLO Para calcular , se escoge , de modo que .

Así, la integral se reduce inmediatamente a . 3. Integración de funciones racionales y trigonométricas El objetivo consiste en calcular integrales de cocientes de polinomios mediante descomposición en fracciones simples elementales: Asimismo, en integrales como se recurre al cambio trigonométrico (con ), auxiliándose de las identidades: y ERROR FRECUENTE Al integrar por partes, olvidar cambiar el signo de la derivada de ciertas funciones (como el paso de coseno a menos seno: ) arruina por completo el cálculo cíclico final. COMPRUEBA 10 ¿Cómo se resuelve por partes la integral elemental x e^x dx?

fg dx = fg f g dx e cos x dx x e cos x dx = x 2 e (cos x+sin x) x u = ϕ(x) du = ϕ (x)dx f(ϕ(x)) ϕ (x) dx = f(u) du 2xe dx x2 u = x2 du = 2x dx e du = u e + u C = e + x2 C dx Q(x) P (x) o bien (con denominador irreducible) (x + a)n A (x + px + q) 2 n Ax + B dx 1 x2 x = sint dx = cos tdt sin x + 2 cos x = 2 1 cos t = 2 2 1+cos(2t) sin t = 2 2 1 cos(2t) sin(2x) = 2 sinx cos x 1 + tg x = 2 sec x = 2 cos x 2 1 (cos x) = sinx Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 6 ESQUEMA Métodos de integración IDEAS CLAVE La derivada en un punto representa la pendiente exacta de la recta tangente a la función.

La integración por partes proviene directamente de invertir la regla de derivación del producto. El cambio de variable es la inversión sistemática de la regla de la cadena. Las fracciones racionales se integran descomponiendo en términos lineales y cuadráticos irreducibles. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 11. ¿Cuál es la derivada de la composición según la regla de la cadena? 12. ¿Qué relación trigonométrica permite linealizar el término dentro de una integral? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 13. Geométricamente, ¿qué valor proporciona f'(a)? 14. ¿De qué fórmula de derivación procede la integración por partes? 15.

¿Qué sustitución trigonométrica simplifica directamente (1 - x²)? Por partes f g' = fg - f'g Cambio de variable u = φ(x) por regla de la cadena Fracciones simples Para cocientes P(x)/Q(x) Lineales A / (x+a)^n Cuadráticos (Ax+B) / (x²+px+q)^n (f g)(x) cos t 2 El punto de corte vertical a) La curvatura de f(x) b) La pendiente de la tangente c) El área bajo la curva d) Derivada del cociente a) Derivada de la constante b) Derivada del producto c) Regla de la cadena d) x = sin(t) a) x = 1/t b) x = tan(t) c) x = cos(2t) d) Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 7 16. ¿Cuál es la derivada del producto f · g?

3 Números complejos: forma binómica y operaciones AL ACABAR SABRÁS Efectuar sumas, productos y divisiones de números complejos en forma binómica. Calcular el conjugado, el módulo y el inverso de un complejo. Resolver raíces cuadradas en forma binómica mediante sistemas de dos incógnitas. PIÉNSALO ANTES DE LEER 17 ¿Por qué la suma de cuadrados a² + b² puede factorizarse con números complejos pero no con números reales? Definición y estructura binómica Los números complejos surgen formalmente para resolver la ecuación cuadrática .

Se postula la unidad imaginaria que satisface la propiedad estructural: El conjunto de los números complejos se define como , donde es la parte real y es la parte imaginaria. Operaciones en forma binómica Las operaciones básicas siguen los axiomas de cuerpo de los números reales teniendo presente que : Suma: Producto: El producto cumple las leyes conmutativa ( ), asociativa ( ), distributiva respecto de la suma ( ) y cuenta con elementos neutros para la adición ( ) y la multiplicación ( ). EJEMPLO Al multiplicar , se distribuyen los términos: . Como , se obtiene .

f' · g' a) f'g - fg' b) f'g + fg' c) (f'g)/g² d) x = 2 1 i i = 1 i = 2 1 C = {z = a + bi a, b R} a b i = 2 1 (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i zw = wz z(wv) = (zw)v z(w + v) = zw + zv z + 0 = z z 1 = z (3 + 2i)(5 8i) 15 24i + 10i 16i2 i = 2 1 15 + 16 + ( 24 + 10)i = 31 14i Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 8 Inverso, conjugado y división Dado , su conjugado se denota . La multiplicación de un complejo por su conjugado siempre genera un número real no negativo: El módulo de es la distancia al origen y se define como "z" = .

A partir del conjugado, se define el inverso multiplicativo para todo : Para dividir dos números complejos, se multiplica y divide por el conjugado del denominador: ERROR FRECUENTE Al calcular , un fallo recurrente es escribir . Recuerda que ; los cuadrados siempre se suman. Cálculo de raíces cuadradas algebraicas Para hallar en forma binómica buscamos un complejo tal que . Desarrollando el cuadrado: Este sistema proporciona dos soluciones opuestas: y . COMPRUEBA 18 ¿Cuál es el inverso de z = 3 + 2i expresado en forma a + bi?

PROCESO Procedimiento de división binómica 1 Cociente planteado (a+bi) / (c+di) 2 Conjugado Multiplicar arriba y abajo por c - di 3 Denomina dor real El denominador re sulta c² + d² 4 Separa ción Escribir en parte real e imaginaria z = x + iy = z ˉ x iy z = z ˉ (a + bi)(a bi) = a 2 (bi) = 2 a + 2 b 2 R 0 z a + b 2 2 z = 0 = z 1 = z 2 z ˉ a + b 2 2 a i a + b 2 2 b = 3 + 4i 2 + 3i = (3 + 4i)(3 4i) (2 + 3i)(3 4i) = 3 + 4 2 2 6 8i + 9i + 12 = 25 18 + i + 25 18 i 25 1 z z ˉ a 2 b2 (bi) = 2 b i = 2 2 b ( 1) = 2 +b2 z w = c + di w = 2 z = a + bi (c + di) = 2 (c 2 d ) + 2 2cd i = a + bi { c d = a 2 2 2cd = b w w = w Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 9 IDEAS CLAVE La unidad imaginaria satisface por postulado básico que .

El producto de cualquier número complejo por su conjugado siempre da un número real: . La división de números complejos se formaliza multiplicando numerador y denominador por el conjugado del divisor. La raíz cuadrada de un número complejo da lugar a dos soluciones opuestas en el plano complejo. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 19. ¿Qué representa la cantidad para un número complejo ? 20. ¿Qué sistema cuadrático permite calcular la raíz cuadrada binómica de ? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 21. ¿Cuál es el valor algebraico de la potencia i²? 22. ¿A qué es igual el producto z · z̄ para z = a + bi? 23. ¿Cuál es el conjugado de 2 + 3i? 24.

¿Cómo se realiza la división de complejos en forma binómica? i i = 2 1 z = z ˉ a + 2 b2 z z = a + bi z = a + bi -1 a) 1 b) 0 c) -i d) 2a - 2bi a) a² - b² b) a² + b² c) (a + b)² d) -2 + 3i a) -2 - 3i b) 2 - 3i c) 3 + 2i d) Calculando sus logaritmos a) Multiplicando por el conjugado del divisor b) Elevando al cuadrado ambos c) Dividiendo partes reales e imaginarias d) Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 10 4 Forma polar, potencias y raíces n-ésimas AL ACABAR SABRÁS Determinar el módulo y argumento de números complejos ubicados en cualquier cuadrante. Calcular potencias enteras de números complejos utilizando la fórmula de De Moivre / exponencial polar.

Obtener y representar geométricamente las raíces n-ésimas de un número complejo. PIÉNSALO ANTES DE LEER 25 ¿Por qué las raíces n-ésimas de un complejo se encuentran siempre a distancias idénticas del origen? Representación en el plano y forma polar Todo número complejo se representa geométricamente como un punto de coordenadas en el plano complejo. Módulo r y argumento α de un complejo en el plano cartesiano. A partir del punto se define su forma polar o , caracterizada por: Módulo: (distancia al origen). Argumento: ángulo medido respecto al semieje positivo real ( ), determinado por .

El paso de polar a binómica se calcula mediante: z = a + bi (a, b) r α reiα r = a + b 2 2 α 0 α < 2π tg α = a b a = r cos α, b = r sinα Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 11 ERROR FRECUENTE El cálculo del argumento mediante la arcotangente directa ignora el cuadrante donde se sitúa el punto. Es imprescindible corregir el ángulo si la parte real es negativa: Si : Si : Si : (para ) o (para ). EJEMPLO Para , el módulo es . Como y (tercer cuadrante), el argumento es . El complejo es .

Operaciones en forma polar y potencias Dados y : Multiplicación: se multiplican los módulos y se suman los argumentos: División: Potencia -ésima: Raíces n-ésimas de un número complejo Las raíces -ésimas de un complejo son las soluciones de la ecuación polinómica . Un polinomio de grado posee exactamente raíces complejas distintas, todas con el mismo módulo y distribuidas equidistantemente en una circunferencia: Gráficamente, estas raíces determinan los vértices de un polígono regular centrado en el origen de radio . Distribución circular de las tres raíces cúbicas de -1 en el plano complejo.

a > 0 α = arctan(b/a) a < 0 α = arctan(b/a) + π a = 0 α = 2 π b > 0 α = 2 3π b < 0 w = 2 1 i 2 3 r = = + 4 1 4 3 1 a < 0 b < 0 α = arctan( ) + 3 π = + 3 π π = 3 4π 1 4π/3 z = 1 (r ) 1 α 1 z = 2 (r ) 2 α2 z 1 z = 2 (r 1 r ) 2 α +α 1 2 = z 2 z 1 (r 2 r 1 ) α α 1 2 n z = n (re ) = iα n r e = n inα (r ) n nα n z = 0 r α x n z = 0 0 n n = n z 0 , k = ( n r) n α+2kπ 0, 1, 2, … , n 1 n n r Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 12 COMPRUEBA 26 ¿Cuáles son las soluciones complejas de la ecuación x³ = -1?

PROCESO Cálculo de raíces n-ésimas 1 Forma po lar Escribir el radicando como r_α 2 Módulo re sultante Extraer la raíz n- ésima real: R = n r 3 Argumen tos Calcular α' = (α + 2kπ) / n 4 Variar k Evaluar para k = 0, 1, ..., n-1 IDEAS CLAVE La forma polar representa un complejo según su magnitud radial y su ángulo con el eje positivo real. Para situar el ángulo en el segundo o tercer cuadrante hay que sumar al resultado de la arcotangente. Multiplicar en forma polar implica multiplicar los módulos y sumar los ángulos. Todo número complejo no nulo tiene exactamente raíces -ésimas situadas sobre una circunferencia. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 27.

¿Cómo se calcula la potencia si el complejo viene dado en forma polar ? 28. ¿Qué figura geométrica configuran las raíces -ésimas de un número complejo en el plano? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 29. Al multiplicar dos números complejos en forma polar, ¿qué ocurre con sus argumentos? 30. Si un número complejo tiene a < 0 y b > 0, ¿en qué cuadrante se encuentra? 31. ¿Cuántas raíces quintas distintas tiene cualquier número complejo no nulo?

π n n zn r α n Se suman a) Se restan b) Se dividen c) Se multiplican d) Primer cuadrante a) Cuarto cuadrante b) Tercer cuadrante c) Segundo cuadrante d) Infinitas a) 1 b) 2 c) 5 d) Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 13 32. ¿Cuál es la relación para pasar de coordenadas polares a la parte real binómica?

5 Formulario Funciones exponencial y logarítmica Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : base de los logaritmos naturales; : índice natural Definición analítica del número : base; : argumento; : exponente Conversión y resolución de ecuaciones logarítmicas o exponenciales : base real positiva arbitraria Transformación de potencias generales a base natural , , : variable real positiva para logaritmos Derivación directa de funciones exponenciales y logarítmicas ; ; : argumentos; : exponente real Simplificación y desarrollo algebraico de expresiones con logaritmos Cálculo diferencial e integral Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : pendiente de la recta tangente en Definición formal e interpretación geométrica de la derivada ; : funciones derivables Derivación de productos y funciones compuestas (regla de la cadena) : término a derivar; : término a integrar Integración por partes (productos algebraicos, trascendentes y cíclicas) Elegir Hallar Integrar Sustituir : nueva variable; : derivada de la función interna Método de cambio de variable a = r / cos(α) a) a = r cos(α) b) a = r sin(α) c) a = tan(α) / r d) e = lim 1 + = n ( n 1 ) n n=0 n!

1 e n e log x = a y a = y x a > 0, a = 1 x > 0 y a = x e(ln a)x a (e ) = x ex (ln x) = x 1 (log x) = a x ln a 1 x log(xy) = log x + log y log(x/y) = log x log y log(x ) = k k log x x, y > 0 k f (a) = lim x a x a f(x) f(a) f (a) x = a (fg) = f g + fg (f g) (x) = f (g(x)) g (x) f, g fg dx = fg f g dx f g u = ϕ(x) du = ϕ (x)dx f(u)du u u ϕ (x) Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 14 Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa Descomponer Integrar sumandos : polinomios; denominadores lineales y cuadráticos irreducibles Integración de funciones racionales ; : variable angular Linealización de potencias trigonométricas cuadráticas en integrales Números complejos en forma binómica Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa , con ; Representación binómica estándar de un número complejo ; ; : conjugado; : módulo o distancia al origen Cálculo de distancias y eliminación de la unidad imaginaria en productos ; : divisor División de complejos multiplicando numerador y denominador por el conjugado Plantear Resolver el sistema y : componentes de la raíz buscada Cálculo algebraico de raíces cuadradas en forma binómica Forma polar y raíces n-ésimas Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa ; (+ si ) : módulo ( ); : argumento principal ( ) Conversión de forma binómica a forma polar o ; : parte real; : parte imaginaria Conversión de forma polar a forma binómica ; : módulos; : argumentos Multiplicación y división rápida de números complejos : exponente entero Cálculo de potencias enteras de números complejos , con : índice radical; : índice de cada una de las raíces Cálculo de las raíces complejas de una ecuación = Q(x) P(x) + (x+a)n A (x +px+q) 2 n Ax+B P , Q cos t = 2 2 1+cos(2t) sin t = 2 2 1 cos(2t) t z = a + bi i = 2 1 a = Re(z) b = Im(z) = z ˉ a bi z = a + b 2 2 z = z ˉ a + 2 b2 z ˉ z = z 1 a +b 2 2 a i a +b 2 2 b = z 2 z 1 z 2 2 z 1 z ˉ2 z = 2 0 (c + di) = 2 a + bi c 2 d = 2 a 2cd = b c, d R r = a + b 2 2 α = arctan(b/a) π a < 0 r r 0 α 0 α < 2π r α reiα a = r cos α b = r sin α a b r α s = β (rs) α+β = s β r α (r/s) α β r, s α, β z = n (r ) = α n (r ) = n nα r e n inα n Z = n r α ( ) n r n α+2kπ k = 0, 1, …

, n 1 n k n n x = n z 0 Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 15 Errores típicos Escribir erróneamente en lugar de aplicar la propiedad solo al producto: . Olvidar el signo negativo al derivar funciones trigonométricas en la integración por partes, como . Calcular olvidando que . No corregir el cuadrante sumando al argumento cuando la parte real es negativa (cuadrantes II y III). ln(x + y) = lnx + lny ln(xy) = lnx + lny (cos x) = sinx z = z ˉ a 2 b2 (bi) = 2 b ( 1) = 2 +b2 π arctan(b/a) a Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 16 Soluciones de las preguntas de repaso 1.

Porque elevar la constante positiva e a cualquier potencia real siempre produce un resultado estrictamente mayor que cero. 2. Se aplica la equivalencia exponencial inmediata: , obteniendo directamente . 3. La identidad fundamental establece que . 4. Su derivada corresponde a la regla del cambio de base: . 5. b) / . Por las leyes algebraicas de los exponentes, la resta en el exponente se convierte en un cociente de potencias. 6. c) 0. Cualquier número no nulo elevado a la potencia 0 es igual a 1, luego (1) = 0. 7. c) ln(x/y) = ln(x) - ln(y). El logaritmo de un cociente equivale estrictamente a la diferencia de los logaritmos de numerador y denominador. 8. b) Estrictamente creciente.

Para bases mayores que la unidad, la función exponencial es monótona estrictamente creciente en todo su dominio. 9. Porque proviene de la derivada de un producto, donde cada término contiene una función intacta multiplicada por la derivada de la otra. 10. Se asigna ( ) y ( ). Al aplicar la fórmula queda . 11. La derivada corresponde a . 12. Se utiliza la identidad del ángulo doble: . 13. c) La pendiente de la tangente. La definición formal de la derivada en un punto expresa la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto. 14. c) Derivada del producto. Integrando la igualdad (f·g)' = f'g + fg' y reordenando términos se obtiene de forma natural la fórmula de partes. 15.

a) x = sin(t). Al tomar x = sin(t), el radicando se convierte en 1 - sin²(t) = cos²(t), eliminando la raíz cuadrada. 16. c) f'g + fg'. La derivada del producto consta de la derivada del primero por el segundo más el primero por la derivada del segundo. 17. Porque en los complejos disponemos de i² = -1, permitiendo expresar la suma como diferencia: a² - (bi)² = (a+bi)(a-bi). 18. Calculando su módulo al cuadrado , el inverso resulta directamente . 19. Representa el módulo del número complejo, dado por . 20. El sistema iguala partes real e imaginaria: y . 21. a) -1. La unidad imaginaria se define como la raíz de -1, por lo que su cuadrado es estrictamente -1. 22. c) a² + b².

Al multiplicar por el conjugado, la parte imaginaria se cancela y queda la suma de cuadrados a² + b². 23. c) 2 - 3i. El conjugado de un complejo se obtiene únicamente invirtiendo el signo de su componente imaginaria. 24. b) Multiplicando por el conjugado del divisor. Para transformar el denominador en un número real, se multiplica numerador y denominador por el conjugado de este. 2 = log x 2 2 1 x = 2 = 1 2 1 a = x e(ln a)x (log x) = a x ln a 1 ex ey log a f = x f = 1 g = ex g = ex xe x 1 e dx = x xe x e + x C f (g(x)) g (x) cos t = 2 2 1+cos(2t) 3 + 2 2 = 2 13 = z 1 13 3 i 13 2 z = a + b 2 2 c 2 d = 2 a 2cd = b Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 17 25.

Porque todas comparten el mismo módulo R = n r y únicamente difieren en incrementos angulares constantes de 2π/n. 26. En polar, . Las 3 raíces cúbicas tienen módulo 1 y argumentos : para es , para es y para es . 27. Se eleva el módulo a la potencia y se multiplica el ángulo por : . 28. Forman los vértices de un polígono regular de lados inscrito en una circunferencia de radio . 29. a) Se suman. El producto en forma polar multiplica los módulos y suma algebraicamente los argumentos respectivos. 30. d) Segundo cuadrante. Parte real negativa y parte imaginaria positiva definen de forma unívoca el segundo cuadrante del plano. 31. d) 5.

Por el teorema fundamental del álgebra, un complejo no nulo tiene exactamente n raíces n- ésimas distintas. 32. b) a = r cos(α). Por trigonometría elemental en el triángulo rectángulo, la proyección en el eje de abscisas es a = r cos(α). 1 = 1 π 3 π+2kπ k = 0 1 π/3 k = 1 1 = π 1 k = 2 1 5π/3 n n (r ) n nα n n r Matemáticas: Funciones, Cálculo y Números Complejos 18