Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Diagonalización

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APUNTES MATEMÁTICAS Grado en Biología Universidad de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apuntes completos de álgebra lineal para Biología: cálculo matricial, determinantes, sistemas lineales, autovalores, ortogonalidad y formas cuadráticas.

APREN.AI Índice 1 Espacios vectoriales, matrices y sistemas lineales Vectores y subespacios vectoriales Matrices, determinantes e inversa Clasificación de sistemas lineales 2 Diagonalización, valores propios y vectores propios Definición de autovalor y autovector Criterios de diagonalización 3 Ortogonalidad, matrices simétricas y formas cuadráticas Producto escalar y ortogonalidad Método de Gram-Schmidt Matrices simétricas, hermitianas y clasificación cuadrática 4 Formulario Matrices, determinantes y sistemas lineales Diagonalización y autovalores Ortogonalidad y formas cuadráticas Errores típicos Soluciones de las preguntas de repaso Estos apuntes pueden contener errores u omisiones.

Son un material de apoyo y no sustituyen al temario oficial ni al profesorado: contrasta la información importante. Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Diagonalización 1 1 Espacios vectoriales, matrices y sistemas lineales AL ACABAR SABRÁS Verificar si un subconjunto forma un subespacio vectorial. Calcular el rango y la matriz inversa por determinantes o eliminación gaussiana. Clasificar sistemas lineales usando las propiedades de rango. PIÉNSALO ANTES DE LEER 1 ¿Por qué no basta con que un conjunto contenga vectores para que sea un subespacio vectorial?

Vectores y subespacios vectoriales Un vector es una n-upla de números en la que se definen la suma componente a componente y la multiplicación por escalares. Una combinación lineal de vectores consiste en sumar dichos vectores multiplicados por coeficientes escalares: . DEFINICIÓN Un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial si contiene al elemento neutro y es cerrado bajo sumas y productos por un escalar: para cualesquiera , se cumple que . Un conjunto de vectores genera un subespacio cuando este coincide con la totalidad de combinaciones lineales que pueden formarse a partir de ellos.

Diremos que los vectores son linealmente independientes si la única combinación lineal que da el vector cero exige coeficientes nulos: Una base es un sistema generador cuyos elementos son linealmente independientes. Todas las bases de un mismo espacio poseen idéntica cantidad de elementos, determinando la dimensión del espacio. COMPRUEBA 2 ¿Cómo detecta la eliminación gaussiana si un conjunto de filas es linealmente dependiente? Matrices, determinantes e inversa El rango de una matriz representa el número máximo de vectores linealmente independientes entre sus filas o columnas.

Coincide con la cantidad de pivotes no nulos tras el escalonamiento de Gauss, o con el orden del mayor menor complementario no nulo. Para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada invertible (condición que requiere que ), se aplica la relación: a v + 1 a w + 2 a u 3 W V V o (0,0,0) de V 0 ˉ w , w y c 1 2 w + 1 w y c w forman parte de W 2 1 a v + 1 1 + a v = k k implica que cada constante a = 0 ˉ i 0 A A det(A) = 0 Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Diagonalización 2 donde los coeficientes de la matriz adjunta se obtienen mediante al tachar la fila y la columna .

ERROR FRECUENTE Un fallo común es olvidar trasponer la matriz de cofactores o adjuntos antes de dividir por el determinante, o aplicar la fórmula cuando el determinante de la matriz es exactamente cero. Clasificación de sistemas lineales Un sistema con matriz de coeficientes y matriz ampliada se clasifica según la coincidencia de sus rangos con el número de incógnitas : ESQUEMA Tipos de sistemas lineales COMPRUEBA 3 ¿Qué condición numérica de rangos define a un sistema lineal incompatible? IDEAS CLAVE Un subespacio vectorial contiene el vector nulo y es cerrado respecto a la suma vectorial y al producto por escalares.

El rango de una matriz representa el número de filas o columnas linealmente independientes y coincide con los pivotes del método de Gauss. Una matriz admite inversa únicamente si su determinante es diferente de cero. La compatibilidad de un sistema lineal depende de la igualdad entre los rangos de la matriz del sistema y de su ampliada. A = 1 (A ) det(A) 1 adj T (A ) = adj ij ( 1) det(A ) i+j ij i j A (A b) n Compatible determinado r(A) = r(A"b) = n incógnitas Compatible indeterminado r(A) = r(A"b) < n incógnitas Incompatible r(A) < r(A"b), sin solución Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Diagonalización 3 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 4.

¿Qué relación existe entre la dimensión de un espacio y una base suya? 5. ¿Bajo qué condición un sistema compatible es indeterminado? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 6. ¿Cuándo se considera que un conjunto de vectores es linealmente independiente? 7. ¿Qué consecuencia tiene permutar dos filas en el cálculo de un determinante? 8. ¿Cuándo una matriz cuadrada posee inversa? 9. ¿Qué ocurre si en un sistema el rango de A es menor que el de la ampliada? 2 Diagonalización, valores propios y vectores propios AL ACABAR SABRÁS Determinar el polinomio característico y sus autovalores. Calcular los subespacios propios asociados a cada valor propio.

Analizar si una matriz es diagonalizable y construir las matrices asociadas C y D.

El número de vectores sobrepasa la dimensión a) Uno de ellos es múltiplo del vector nulo b) La combinación nula exige coeficientes iguales a cero c) Su determinante rectangular es siempre idéntico a cero d) El determinante no sufre ninguna alteración a) El valor del determinante cambia de signo b) El resultado pasa a ser siempre cero c) El determinante queda multiplicado por dos d) Cuando su traza es estrictamente positiva a) Cuando tiene al menos una fila nula b) Siempre que sus entradas sean simétricas c) Cuando su determinante es no nulo d) El sistema admite solución única a) El sistema posee infinitas soluciones b) La solución trivial es la única posible c) El sistema es incompatible sin solución d) Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Diagonalización 4 PIÉNSALO ANTES DE LEER 10 ¿Por qué es ventajoso transformar una matriz en su equivalente diagonal?

Definición de autovalor y autovector Dada una matriz cuadrada , un vector no nulo es un vector propio asociado al valor propio si se verifica la igualdad: Los valores propios de corresponden exactamente a las raíces de su polinomio característico, definido por . Criterios de diagonalización Una matriz es diagonalizable si existe una matriz de paso invertible y una matriz diagonal tales que . En esta disposición, las columnas de son los autovectores y los elementos diagonales de son los autovalores correspondientes.

Concepto Definición Propiedad clave Multiplicidad algebraica ( ) Multiplicidad de la raíz en Suma de multiplicidades igual al orden Multiplicidad geométrica ( ) Dimensión del subespacio DEFINICIÓN Una matriz cuadrada de orden es diagonalizable si todas las raíces de su polinomio característico pertenecen al cuerpo considerado y, para cada autovalor, la multiplicidad geométrica coincide con la multiplicidad algebraica. ERROR FRECUENTE Asumir que una matriz no es diagonalizable solo porque tiene valores propios repetidos. El defecto de diagonalización ocurre cuando la dimensión del autoespacio asociado es estrictamente inferior a la multiplicidad algebraica de esa raíz.

COMPRUEBA 11 ¿Qué relación de orden se cumple siempre entre la dimensión del autoespacio y la multiplicidad algebraica de un autovalor? A v = 0 ˉ λ Av = λv o de forma equivalente (A λI)v = 0 ˉ A P (x) = det(A xI) A C D C AC = 1 D C D μ λ λ P (x) n dim E λ Ker(A λI) 1 dim E λ μ λ n Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Diagonalización 5 PROCESO Procedimiento de diagonalización IDEAS CLAVE Un autovector no nulo satisface que su transformación matricial equivale a multiplicarlo por un escalar autovalor. Los valores propios corresponden a las raíces del polinomio característico. Para que una matriz diagonalice, la multiplicidad algebraica debe ser igual a la geométrica para cada autovalor.

Las columnas de la matriz de cambio de base C están formadas por los vectores propios de la transformación. COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 12. ¿Cómo se define el polinomio característico de una matriz? 13. ¿Qué representa la multiplicidad geométrica de un autovalor? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 14. ¿Qué ecuación deben satisfacer los autovalores de una matriz A?

Polinomio característico Calcular det(A - x I) 1 Cálculo de raíces Obtener los valores propios y su multiplicidad algebraica 2 Sistemas de autovectores Resolver (A - lambda I)v = 0 3 Comprobación de dimensiones Verificar dim(E) = multiplicidad algebraica 4 Construcción de matrices Formar C con autovectores y D con autovalores 5 Traza(A) = det(x I) a) A + x I = 0 b) det(A) = x c) det(A - x I) = 0 d) Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Diagonalización 6 15. ¿Cuándo se garantiza que una matriz es diagonalizable? 16. ¿Qué estructura tiene la matriz de paso C en una diagonalización? 17. ¿Cuál es el valor mínimo que puede tomar la multiplicidad geométrica de un autovalor existente?

3 Ortogonalidad, matrices simétricas y formas cuadráticas AL ACABAR SABRÁS Aplicar el método de Gram-Schmidt para ortogonalizar una base. Comprobar las propiedades espectrales de matrices simétricas y hermitianas. Clasificar formas cuadráticas aplicando el criterio de autovalores o el de Sylvester. PIÉNSALO ANTES DE LEER 18 ¿Por qué es conveniente trabajar con bases ortonormales en lugar de bases genéricas? Producto escalar y ortogonalidad En el espacio euclídeo, dos vectores son ortogonales si su producto escalar es nulo ( ). Se dicen ortonormales si además tienen norma unitaria ( ), calculada como . En el caso complejo, el producto hermitiano se calcula mediante , asegurando que .

Método de Gram-Schmidt Permite obtener una base ortogonal a partir de una base dada sustrayendo sucesivamente las proyecciones ortogonales: Si la multiplicidad geométrica iguala a la algebraica en cada autovalor a) Cuando la matriz de paso no tiene inversa b) Únicamente si posee autovalores nulos c) Siempre que su determinante sea nulo d) Está formada por los coeficientes del polinomio a) Es una matriz triangular de determinantes menores b) Contiene a los autovectores situados en sus columnas c) Tiene en su diagonal principal a los autovalores d) 1 a) Depende de la traza b) 0 c) El orden n de la matriz d) v, w v w = 0 v = 1 v = + v v v w = x iy ˉi vνv resulte un n mero real no negativo u ˊ u , ν, u 1 k v , ν, v 1 k Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Diagonalización 7 Esquema geométrico de la proyección ortogonal entre dos vectores La construcción recurrente procede de acuerdo con los pasos: Esquema vectorial de la descomposición ortogonal por Gram-Schmidt Para transformarla en una base ortonormal, basta con dividir cada vector ortogonal entre su respectiva norma: .

COMPRUEBA 19 ¿Qué propiedad geométrica garantiza restar la proyección escalar a un vector durante la ortogonalización? Matrices simétricas, hermitianas y clasificación cuadrática Una matriz real es simétrica si . Toda matriz simétrica real diagonaliza ortogonalmente mediante una matriz ortogonal tal que , y posee exclusivamente valores propios reales. Pr (v) = u u ( u u v u ) u = 1 v , … , u = 1 k v k Pr (v ) i=1 k 1 u i k e = i u i u i A A = AT C C = 1 CT Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Diagonalización 8 A cada matriz simétrica se le asocia una forma cuadrática .

El signo de la forma cuadrática permite clasificarla según el criterio de Sylvester (mediante los menores principales) o mediante sus autovalores: Clasificación Criterio por autovalores ( ) Criterio de Sylvester (menores ) Definida positiva Todos Todos Definida negativa Todos Signos alternados: Semidefinida positiva Todos (con algún cero) hasta y Indefinida Existen autovalores positivos y negativos No cumple las pautas anteriores con ERROR FRECUENTE Al pasar de una forma cuadrática a su matriz simétrica, los coeficientes de los términos cruzados (como ) deben repartirse divididos por la mitad entre las posiciones simétricas y , en vez de colocar el coeficiente completo en una sola casilla.

COMPRUEBA 20 ¿Cómo determina la regla de los signos de Descartes la cantidad de raíces positivas en el polinomio característico? PROCESO Algoritmo de Gram-Schmidt 1 Fijar primer vector Asignar u1 = v1 2 Calcular proyección Determinar la proyec ción de vk sobre los anteriores 3 Resta orto gonal Restar las proyeccio nes para hallar uk ortogonal 4 Normaliza ción Dividir cada vector por su norma para obtener ei IDEAS CLAVE Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es nulo, y ortonormales si además tienen longitud 1. El proceso de Gram-Schmidt construye un conjunto ortogonal eliminando progresivamente las componentes proyectadas.

Toda matriz simétrica real presenta valores propios reales y admite diagonalización mediante una matriz ortogonal. La signatura y la definición de una forma cuadrática se determinan directamente mediante los signos de sus autovalores o por el criterio de Sylvester. Q(x) = x Ax T λ i Mi λ > i 0 M > i 0 λ < i 0 ( 1) M > i i 0 λ i 0 M > i 0 n 1 M = n 0 M = n 0 x x i j a ij a ji Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Diagonalización 9 COMPRUEBA LO QUE HAS APRENDIDO 21. ¿Qué condición cumple una matriz unitaria? 22. ¿Cuándo se afirma que una forma cuadrática es indefinida? Test Rodea la respuesta correcta. Las soluciones están al final. 23.

¿Cuál es la condición para que dos vectores sean ortogonales? 24. ¿Qué propiedad asegura que una matriz simétrica real diagonalice ortogonalmente? 25. En el criterio de Sylvester, ¿qué caracteriza a una matriz definida positiva? 26. ¿Cómo se normaliza un vector u en un espacio euclídeo?

4 Formulario Matrices, determinantes y sistemas lineales Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : matriz adjunta con Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada con Operaciones elementales de fila contar pivotes no nulos Pivotes: primeros elementos no nulos de cada fila escalonada Determinar el rango o base del espacio generado Sus normas son estrictamente idénticas a) Su producto escalar es cero b) Tienen la misma dirección y sentido c) Son linealmente dependientes d) Poseer una única fila no nula a) El teorema espectral para matrices simétricas reales b) Que todos sus elementos sean enteros c) Tener determinante estrictamente igual a la unidad d) Todos los elementos de la diagonal son cero a) Todos sus menores principales son estrictamente positivos b) Su último menor principal se anula por completo c) Los signos de los menores se alternan sucesivamente d) Restándole su producto escalar previo a) Multiplicándolo por el vector nulo b) Calculando el determinante de su menor c) Dividiendo el vector entre su módulo o norma d) A = 1 (A ) det(A) 1 adj T Aadj (A ) = adj ij ( 1) det(A ) i+j ij det(A) = 0 r(A) Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Diagonalización 10 Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : número de incógnitas del sistema Sistema compatible determinado (solución única) Diferencia : número de parámetros libres Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones) : rango de la matriz ampliada Sistema incompatible (sin solución) Diagonalización y autovalores Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa : polinomio característico; : matriz identidad Obtención de los valores propios : vector propio del autoespacio Cálculo de autovectores asociados a cada Factorizar verificar para todo construir y : mult.

algebraica; : mult.

geométrica Comprobar si es diagonalizable y diagonalizarla : simétrica real; : matriz ortogonal ( ) Diagonalización ortogonal de matrices simétricas Ortogonalidad y formas cuadráticas Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa ; : norma o módulo; : vector unitario Normalización de vectores Proyección ortogonal de sobre la dirección de : base inicial; : ortogonal; : ortonormal Método de ortogonalización de Gram-Schmidt r(A) = r(A b) = n n r(A) = r(A b) < n n r r(A) < r(A b) r(A b) P (x) = det(A xI) = 0 P (x) I λ (A λI)v = 0 ˉ v = 0 ˉ E λ λ P (x) dim E = λ μ λ λ C D = C AC 1 μ λ dim E = λ n r(A λI) A A = A T D = C AC T A C C = 1 CT v = v v e = v v v e Pr (v) = u u (u u v u ) u u = u 2 v u u = 1 v1 u = k v k Pr (v ) i=1 k 1 u i k e = k u k u k {v } k {u } k {e } k Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Diagonalización 11 Fórmula o procedimiento Significado de los símbolos Cuándo se usa con : matriz simétrica asociada a la forma cuadrática Expresión matricial de polinomios cuadráticos Definida positiva: (o menores ) Definida negativa: (o ) Semidefinida positiva: con Indefinida: existen y : determinante del menor principal de orden Clasificación de formas cuadráticas (Sylvester / autovalores) Errores típicos Olvidar trasponer la matriz de cofactores al calcular la matriz inversa: la fórmula requiere .

No dividir por dos los coeficientes de los términos cruzados ( ) al armar la matriz simétrica de una forma cuadrática. Descartar la diagonalizabilidad de una matriz solo porque tenga raíces repetidas en ; solo falla si la dimensión del autoespacio resulta menor que su multiplicidad algebraica. Q(x) = x Ax T a = ij a = ji 2 c ij A λ > i 0 M > i 0 λ < i 0 ( 1) M > i i 0 λ i 0 M = n 0 λ > i 0 λ < j 0 M i i (A ) adj T x x i j A P (x) n r(A λI) Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Diagonalización 12 Soluciones de las preguntas de repaso 1. Porque requiere además contener obligatoriamente el elemento neutro y que cualquier combinación lineal de sus miembros permanezca dentro del conjunto. 2.

Si al completar el escalonamiento de la matriz surge al menos una fila formada enteramente por ceros, los vectores fila son linealmente dependientes. 3. Un sistema carece de soluciones cuando el rango de la matriz de coeficientes no coincide con el de la matriz ampliada; en concreto, el rango de la ampliada supera al de coeficientes. 4. La dimensión equivale al número total de vectores que integran cualquier base de dicho espacio. 5. Cuando el rango de la matriz de coeficientes coincide con el de la matriz ampliada pero resulta estrictamente menor que el número de incógnitas. 6. c) La combinación nula exige coeficientes iguales a cero.

La independencia lineal implica que la combinación igualada a cero solo se cumple cuando todos los escalares son nulos. 7. b) El valor del determinante cambia de signo. El intercambio de dos filas o columnas altera el signo del determinante. 8. d) Cuando su determinante es no nulo. La condición necesaria y suficiente de invertibilidad es que su determinante sea distinto de cero. 9. d) El sistema es incompatible sin solución. Si el rango de la matriz ampliada supera al de la matriz de coeficientes, el sistema no tiene solución. 10. Porque las matrices diagonales simplifican extraordinariamente las operaciones complejas como el cálculo de potencias y la resolución de sistemas acoplados. 11.

La multiplicidad geométrica (dimensión del autoespacio) es al menos 1 y nunca supera la multiplicidad algebraica de dicho valor propio. 12. Mediante el cálculo del determinante de la matriz restada con la identidad escalada: . 13. Representa la dimensión del subespacio vectorial de autovectores asociados a ese valor propio, obtenida como . 14. d) det(A - x I) = 0. Los autovalores son las soluciones de anular el determinante característico det(A - x I). 15. a) Si la multiplicidad geométrica iguala a la algebraica en cada autovalor. La coincidencia entre multiplicidades geométricas y algebraicas para todas las raíces permite formar una base completa de autovectores. 16.

c) Contiene a los autovectores situados en sus columnas. Las columnas de la matriz C corresponden a los vectores propios linealmente independientes de la matriz original. 17. a) 1. Todo autovalor tiene asociado al menos un autovector no nulo, por lo que la dimensión del espacio propio es como mínimo 1. 18. Porque las coordenadas y proyecciones se obtienen de forma directa mediante productos escalares simples, sin necesidad de resolver sistemas de ecuaciones. 19. Asegura que el nuevo vector obtenido sea perpendicular a todos los vectores previamente calculados en la base. 20.

Establece que el número de raíces estrictamente positivas coincide con el número de cambios de signo que presenta la sucesión de coeficientes del polinomio. det(A xI) n rango(A νI) Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Diagonalización 13 21. Una matriz unitaria compleja satisface que su inversa equivale a su transpuesta conjugada, es decir, . 22. Cuando toma valores estrictamente positivos para ciertos vectores y estrictamente negativos para otros, lo que equivale a la coexistencia de autovalores de signo opuesto. 23. b) Su producto escalar es cero. Por definición geométrica y algebraica, dos vectores son ortogonales si su producto escalar se anula. 24.

b) El teorema espectral para matrices simétricas reales. Las matrices reales simétricas siempre admiten una base ortonormal formada por vectores propios. 25. b) Todos sus menores principales son estrictamente positivos. La definición positiva exige que el determinante de cada submatriz principal líder sea estrictamente mayor que cero. 26. d) Dividiendo el vector entre su módulo o norma. Dividir cualquier vector no nulo entre su propia longitud lo convierte en un vector unitario de norma 1. A = 1 (A ) T Álgebra Lineal: Matrices, Sistemas y Diagonalización 14