Práctica de R: Dinámica de Poblaciones e Integración Numérica

1.- (0.5 puntos) Cálculo de individuos a tiempo 2 y 5

En una zona del litoral coexisten dos especies de invertebrados denotadas por $x$ e $y$. Se plantea el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales para modelar su evolución temporal:

$$\frac{dx}{dt} = 100\,x\left(1 - \frac{x}{1000}\right) - 0{,}05\,x\,y$$

$$\frac{dy}{dt} = -0{,}05\,x\,y + 0{,}04\,y\,(2000 - y)$$

Considerando las condiciones iniciales $x(0) = 100$ e $y(0) = 50$, calcula mediante simulación numérica con R la abundancia poblacional de cada especie en los instantes $t = 2$ y $t = 5$.

•

$x(2) =$ e $y(2) =$

•

$x(5) =$ e $y(5) =$

2) (0.5 puntos) Dibujo aproximado de la evolución del sistema

Tomando como base la simulación del sistema diferencial con las condiciones iniciales dadas, bosqueja un gráfico bidimensional en el que se aprecie la evolución temporal de las dos poblaciones:

3.- (0.5 punts) Clasificación del modelo

A la vista de la formulación del sistema de ecuaciones diferenciales del ejercicio anterior, determina cuál de las siguientes opciones describe el modelo biológico correspondiente:

4.- (0.5 puntos) Integral de la función de respuesta fisiológica

La respuesta fisiológica hormonal en cierta especie de calamar viene modelizada por la función:

$$f(x) = 2x \cdot e^{-x}$$

Calcula el valor de la integral definida de esta función en el intervalo comprendido entre $x = 1$ y $x = 5$:

$$\int_1^5 2x\,e^{-x}\,dx$$

5.- (0.5 puntos) Valor, derivada y monotonía en x=2

Tomando la función del ejercicio anterior, $f(x) = 2x\,e^{-x}$:

a.

Halla el valor que toma la función en $x = 2$.

b.

Calcula el valor de su derivada en dicho punto ($f'(2)$).

c.

Determina si la función es creciente o decreciente en $x = 2$.