Pràctica de laboratori de càlcul i modelització amb R

Exercici 1. Dinàmica d'espècies amb sistemes d'equacions diferencials

L'evolució temporal de dues espècies que interactuen en un ecosistema ve regida pel sistema diferencial no lineal següent:$$\frac{dx}{dt} = -0.05x + 0.7yx$$$$\frac{dy}{dt} = 2y - 1xy$$Tenint en compte unes condicions inicials de $x(0) = 5$ i $y(0) = 15$, implementeu la resolució numèrica del sistema a R amb el paquet deSolve i determineu les poblacions respectives al cap de 10 unitats de temps, és a dir, $x(10)$ i $y(10)$.

a)

b)

Exercici 2. Resolució numèrica d'una equació diferencial ordinària

Considereu el problema de valor inicial definit per l'equació diferencial lineal de primer ordre:$$y' + 2y = \sin(t), \quad \text{amb } y(0) = 0.5$$Empreu el paquet deSolve de R per aproximar numèricament la solució i determineu el valor de $y(t)$ en l'instant $t = 2$.

a)

Exercici 3. Cadena de Màrkov i distribució a llarg termini

La dinàmica de desplaçament d'una espècie d'ocell entre 3 hàbitats diferents es modelitza mitjançant una cadena de Màrkov a temps discret (passos mensuals) amb matriu de transició $A$:

$$A = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.3 & 0.4 \\ 0.3 & 0.2 & 0.5 \\ 0.4 & 0.5 & 0.1 \end{pmatrix}$$

La població es troba inicialment repartida de la forma següent: el 20% a l'hàbitat 1, el 30% a l'hàbitat 2 i el 50% a l'hàbitat 3.

a.

Quin percentatge de la població d'aus residirà a cada hàbitat al cap de 5 mesos?

%

%

%

b.

Determineu la distribució estacionària o proporció d'aus a cadascun dels tres hàbitats a llarg termini mitjançant el càlcul dels valors i vectors propis de la matriu $A$.

Exercici 4. Model exponencial, derivades i monotonia

La fracció d'un fàrmac present en el fluid intercel·lular en funció del temps transcorregut després d'una injecció ve descrita per la funció:

$$f(t) = 0.5\left(e^{1 - 0.18t} - e^{1 - 1.65t}\right)$$

Mitjançant R, realitzeu els següents apartats:

a.

Avalueu numèricament el valor de la funció en l'instant $t = 2$.

b.

Calculeu simbòlicament les funcions de la primera i de la segona derivada ($f'(t)$ i $f''(t)$) emprant la llibreria Deriv. Escriviu el codi en R utilitzat o les expressions analítiques obtingudes:

c.

Determineu si la funció és creixent o decreixent en el punt $t = 2$ justificant la resposta a partir de l'estudi local de la funció.