Funcions de diverses variables i derivades parcials

I 0 flashcards i 3 preguntes més al document.

Text del document

APUNTS MATEMÀTIQUES Grau en Biologia Universitat de Barcelona AprenAI 2026-2027 Apunts complets de Matemàtiques 1 (UB): dominis, derivades parcials, gradient, derivada direccional, pla tangent, hessiana i funcions homogènies.

APREN.AI Índex 1 Funcions de dues variables, domini i derivades parcials Concepte de funció de dues variables i avaluació El domini d'una funció escalar Càlcul de derivades parcials primeres 2 Gradient, derivada direccional i pla tangent Vector gradient Derivada direccional Diferenciabilitat i hiperplà tangent 3 Regla de la cadena, derivació implícita, matriu hessiana i funcions homogènies Derivació de funcions compostes (regla de la cadena) Derivació de funcions implícites Derivació successiva i matriu hessiana Funcions homogènies i Teorema d'Euler 4 Formulari Derivades parcials i vector gradient Derivada direccional i pla tangent Regla de la cadena i derivació implícita Matriu hessiana i funcions homogènies Errors freqüents per a l'examen Solucions de les preguntes de repàs Aquests apunts poden contenir errors o omissions.

Són un material de suport i no substitueixen el temari oficial ni el professorat: contrasta la informació important. Funcions de diverses variables i derivades parcials 1 1 Funcions de dues variables, domini i derivades parcials EN ACABAR SABRÀS Calcular el domini de definició de funcions de dues variables identificant les restriccions algebraiques. Avaluar funcions escalars en punts concrets del pla. Calcular derivades parcials de primer ordre aplicant les regles de derivació estàndard. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 1 Com podem derivar una expressió que té dues lletres diferents si les fórmules habituals només en tenen una?

Concepte de funció de dues variables i avaluació Una funció real de dues variables és una correspondència matemàtica que assigna a cada parell ordenat de nombres un únic valor real . S'acostuma a expressar mitjançant la notació . Per avaluar una funció en un punt determinat, simplement se substitueixen les coordenades d'aquest punt a les variables corresponents de l'expressió analítica. EXEMPLE Considerem la funció .

Per trobar la seva imatge en el punt , substituïm les coordenades: El domini d'una funció escalar El domini correspon al conjunt de punts pels quals l'expressió analítica té sentit matemàtic i no genera operacions impossibles (com divisions per zero, arrels d'índex parell de nombres negatius o logaritmes de nombres no positius).

Tipus de funció Expressió matemàtica Condició de domini Polinòmica Racional bàsica Irracional (arrel quadrada) Logarítmica (x, y) z z = f(x, y) f(x, y) = x + 2 y2 (2, 3) f(2, 3) = 2 + 2 3 = 2 4 + 9 = 13 (x, y) f(x, y) = x + 2 y2 R2 f(x, y) = x y 1 x = y f(x, y) = x y x y 0 f(x, y) = ln(x + y) x + y > 0 Funcions de diverses variables i derivades parcials 2 EXEMPLE Determina el domini de . COMPROVA-HO 2 Quina és la restricció que determina el domini de la funció g(x, y) = ln(x - y)? Càlcul de derivades parcials primeres Una derivada parcial quantifica com varia una funció respecte d'una de les seves variables quan totes les altres es mantenen constants.

Per calcular-la es fan servir les mateixes regles de derivació d'una variable única tractant la resta com a constants numèriques. Funció elemental Derivada elemental f(x, y) = x y 2 1 Identifiquem la restricció del denominador: el denominador mai pot ser nul, per la qual cosa . 1 x 2 y = 0 Aïllem la relació entre variables: . 2 y = x2 Conclusió: el domini està format per tots els punts llevat d'aquells que satisfan la paràbola .

3 (x, y) R2 y = x2 f(x) f (x) xn nxn 1 ln(x) x 1 ex ex sin(x) cos(x) cos(x) sin(x) tan(x) cos (x) 2 1 x 2 x 1 x 1 x2 1 Funcions de diverses variables i derivades parcials 3 EXEMPLE Troba les derivades parcials de primer ordre de : Respecte a (considerant constant): Respecte a (considerant constant): ERROR FREQÜENT Quan es deriva respecte a una variable, és habitual tractar erròniament les altres lletres com a zero encara que estiguin multiplicant. Recorda: si la variable constant acompanya com a factor multiplicatiu, es manté; només s'anul·la si constitueix un sumand independent sense la variable respecte a la qual derivem.

PROCÉS Càlcul d'una derivada parcial 1 Escollir la variable Fixar la variable respecte a la qual es deriva 2 Tractar la resta com a constants Les altres lletres es consideren nombres fixos 3 Aplicar taula de derivades Derivar utilitzant les regles d'una sola variable IDEES CLAU Una funció de dues variables assigna un nombre real a cada parell . El domini descarta aquells valors que produeixen operacions impossibles com denominadors nuls o arrels negatives. En calcular una derivada parcial respecte a una variable, totes les altres variables es consideren constants fixes. COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 3. Com es calcula la derivada parcial de l'expressió ?

f(x, y) = x y + 2 y3 x y = x f 2xy y x = y f x + 2 3y2 (x, y) \field\func\roundx \field\func\roundf x y 2 Funcions de diverses variables i derivades parcials 4 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 4. Quin és el domini de f(x, y) = 1/(x - y)? 5. Quina és la derivada respecte a y de f(x, y) = x²y + y³? 6. Quina és la derivada de f(x) = tan(x)? 7. Com s'obté la imatge f(2, 3) per a f(x, y) = x² + y²? 2 Gradient, derivada direccional i pla tangent EN ACABAR SABRÀS Calcular el vector gradient d'una funció escalar en un punt. Determinar la derivada direccional fent servir vectors de direcció normalitzats.

Construir l'equació de l'hiperplà o pla tangent a una superfície en un punt. PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 8 Com podem saber cap a on pujar en una muntanya per fer el pendent el més costerut possible?

Vector gradient El vector gradient d'una funció escalar , simbolitzat per , és el vector que agrupa totes les derivades parcials de primer ordre: Tots els punts on x > 0 a) Tots els punts on x y b) Tots els punts on x y c) Tot el pla real R² d) x² + 3y² a) 2xy + 3y² b) 3y² c) 2x + 3y² d) -sin(x) a) -1 / x² b) 1 / (2·sqrt(x)) c) 1 / cos²(x) d) Substituint x=2 i y=3, donant 13 a) Calculant les derivades parcials en (2, 3) b) Sumant 2 + 3, donant 5 c) Multiplicant 2 per 3, donant 6 d) f(x, y) f(x, y) f(x, y) = , ( x f y f ) Funcions de diverses variables i derivades parcials 5 Té dues propietats fonamentals: Apunta en la direcció de màxim creixement de la funció.

És perpendicular a les corbes de nivell de la funció en qualsevol punt. EXEMPLE Per a , el gradient general és . En el punt concret , pren el valor: Derivada direccional Mentre que les derivades parcials mesuren la variació al llarg dels eixos coordenats, la derivada direccional descriu el ritme de canvi de la funció en la direcció de qualsevol vector arbitrarri . Es calcula mitjançant el producte escalar del gradient pel vector unitari en la direcció desitjada: on és el vector normalitzat (de longitud 1). EXEMPLE Càlcul de la derivada direccional de en el punt en la direcció del vector : ERROR FREQÜENT Oblidar normalitzar el vector abans de fer el producte escalar.

Si es fa el producte directament amb el vector donat sense dividir per la seva norma, el valor de la taxa de variació queda multiplicat erròniament per la longitud del vector. COMPROVA-HO 9 Cap a quina direcció apunta sempre el vector gradient d'una funció f(x, y)? f(x, y) = x + 2 y2 f(x, y) = (2x, 2y) (1, 2) f(1, 2) = (2, 4) v = (a, b) D f(x , y ) = v 0 0 f(x , y ) 0 0 u u = v v f(x, y) = x + 2 y2 (1, 2) v = (3, 4) Normalització del vector: la norma és . El vector unitari és . 1 v = = 3 + 4 2 2 = 25 5 u = , (5 3 5 4 ) Càlcul del gradient al punt: .

2 f(1, 2) = (2, 4) Producte escalar: 3 D f(1, 2) = v (2, 4) , = ( 5 3 5 4 ) 2 + 5 3 4 = 5 4 + 5 6 = 5 16 5 22 v Funcions de diverses variables i derivades parcials 6 Diferenciabilitat i hiperplà tangent Una funció és diferenciable si es pot aproximar de manera òptima al voltant d'un punt mitjançant un pla. Geomètricament, el pla tangent és una superfície plana que toca la gràfica de la funció en el punt donat.

L'equació del pla tangent en el punt ve donada per: EXEMPLE Troba el pla tangent a en el punt : PROCÉS Passos per calcular la derivada direccional 1 Normalitzar v Dividir el vector v per la seva norma per obtenir u 2 Calcular gradient Trobar derivades parcials i avaluar al punt 3 Producte escalar Multiplicar escalarment el gradient pel vector unitari IDEES CLAU El gradient agrupa les derivades parcials i indica la direcció de màxim pendent. El gradient és sempre ortogonal a les corbes de nivell. La derivada direccional requereix normalitzar el vector de direcció abans d'efectuar el producte escalar. El pla tangent aproxima localment la superfície corba de la funció en un punt determinat.

COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 10. Quin és el vector gradient de en el punt ? 11. Per què cal dividir pel mòdul del vector en la derivada direccional? (x , y ) 0 0 t(x, y) = f(x , y ) + 0 0 (x , y )(x x f 0 0 x ) + 0 (x , y )(y y f 0 0 y ) 0 f(x, y) = x + 2 y2 (1, 2) Calculem la imatge al punt: . 1 f(1, 2) = 1 + 2 2 = 2 5 Avaluem les derivades parcials primeres: i . 2 (1, 2) = x f 2(1) = 2 (1, 2) = y f 2(2) = 4 Substituïm a la fórmula: 3 t(x, y) = 5 + 2(x 1) + 4(y 2) = 5 + 2x 2 + 4y 8 = 2x + 4y 5 f(x, y) = x + 2 y2 (1, 2) Funcions de diverses variables i derivades parcials 7 Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 12.

Quina orientació té el gradient respecte a les corbes de nivell? 13. Com es calcula la derivada direccional d'una funció? 14. Quin és el pla tangent a f(x,y)=x²+y² en (1,2)? 15. Què expressa la magnitud del vector gradient? 3 Regla de la cadena, derivació implícita, matriu hessiana i funcions homogènies EN ACABAR SABRÀS Aplicar la regla de la cadena per a funcions compostes de diverses variables. Trobar la derivada ordinària dy/dx a partir d'una equació implícita. Construir la matriu hessiana a partir de les derivades parcials de segon ordre. Identificar funcions homogènies i verificar la identitat d'Euler.

PENSA-HI ABANS DE LLEGIR 16 Com podem calcular el pendent dy/dx si la relació entre x i y està barrejada en una equació i no es pot aïllar la y fàcilment? Derivació de funcions compostes (regla de la cadena) Una funció composta es produeix en avaluar una funció dins d'una altra. Per exemple, a , la funció interior és i l'exterior és .

Per calcular les seves derivades parcials s'aplica la regla de la cadena: Té un angle de 45 graus a) És paral·lel a elles b) És tangent a elles c) És perpendicular a elles d) Gradient escalar pel vector unitari a) Mòdul del gradient dividit pel vector b) Producte vectorial del gradient pel vector c) Suma del gradient i el vector d) 2x + 4y + 5 a) x + 2y - 5 b) 2x + 4y - 5 c) 4x + 2y - 5 d) La màxima taxa de creixement local a) La curvatura de la corba de nivell b) El valor del mínim absolut c) El volum sota la superfície d) f(x, y) = sin(x + 2 y) u = g(x, y) = x + 2 y h(u) = sin(u) Funcions de diverses variables i derivades parcials 8 EXEMPLE Troba les derivades de : Derivació de funcions implícites Una relació és implícita quan la variable dependent no està aïllada directament (com a l'equació de la circumferència ).

Per obtenir derivem tota l'equació respecte a , aplicant la regla de la cadena i tractant com una funció dependent de . EXEMPLE Calcula per a l'equació : COMPROVA-HO 17 Quina és la derivada dy/dx de la relació implícita x² + y² = 1? Derivació successiva i matriu hessiana La derivació successiva consisteix a derivar més d'una vegada respecte a les mateixes variables o variables creuades: Derivades segones pures: , . Derivades segones mixtes: , . Pel Teorema de Schwarz, si les derivades són prou suaus (contínues), les derivades mixtes coincideixen: .

La matriu hessiana recull ordenadament totes les derivades parcials de segon ordre: = x f du dh x g f(x, y) = ln(x + 2 y ) 2 Funció interior: ; Funció exterior: . 1 u = x + 2 y2 h(u) = ln(u) Derivades elementals: , , . 2 = du dh u 1 = x u 2x = y u 2y Substitució final: 3 = x f x + y 2 2 1 2x = , = x + y 2 2 2x y f x + y 2 2 2y x + 2 y = 2 1 dx dy x y x dx dy x + 2 y = 2 1 Derivem respecte a els dos membres: . 1 x 2x + 2y = dx dy 0 Aïllem la derivada: .

2 2y = dx dy 2x = dx dy y x x2 f 2 y2 f 2 x y f 2 y x f 2 = x y f 2 y x f 2 Hf(x, y) Hf(x, y) = ( x2 f 2 y x f 2 x y f 2 y2 f 2 ) Funcions de diverses variables i derivades parcials 9 EXEMPLE Determina la matriu hessiana de : Funcions homogènies i Teorema d'Euler Una funció és homogènia de grau k si en escalar totes les variables per una constant , la funció queda multiplicada per : El procediment per comprovar l'homogeneïtat consisteix a substituir i , simplificar i extreure el factor comú . EXEMPLE Funció de grau 2: . . Funció de grau 0: . .

Pel Teorema d'Euler, si una funció és homogènia de grau , compleix la relació diferencial següent: ERROR FREQÜENT Oblidar aplicar la regla de la cadena en la derivació implícita en derivar termes que contenen respecte a . La derivada de respecte a és i no pas simplement . f(x, y) = x + 2 4xy + y2 Derivades primeres: , . 1 = x f 2x + 4y = y f 4x + 2y Derivades segones: , , .

2 = x2 f 2 2 = y2 f 2 2 = x y f 2 = y x f 2 4 Matriu hessiana resultant: 3 Hf(x, y) = ( 2 4 4 2 ) λ λk f(λx, λy) = λ f(x, y) k x λx y λy λk f(x, y) = x + 2 y2 f(λx, λy) = (λx) + 2 (λy) = 2 λ (x + 2 2 y ) = 2 λ f(x, y) 2 f(x, y) = y x f(λx, λy) = = λy λx = y x λ f(x, y) 0 k x + x f y = y f k f(x, y) y x y2 x 2y dx dy 2y Funcions de diverses variables i derivades parcials 10 ESQUEMA Derivades parcials de segon ordre IDEES CLAU La regla de la cadena permet derivar funcions compostes multiplicant la derivada externa per la derivada interna. A la derivació implícita, es deriva respecte a x arrossegant el terme . El Teorema de Schwarz assegura la igualtat de les derivades creuades.

La matriu hessiana conté totes les derivades de segon ordre i serveix per analitzar extrems locals. El Teorema d'Euler relaciona les derivades parcials d'una funció homogènia amb el seu grau . COMPROVA EL QUE HAS APRÈS 18. Què afirma el Teorema de Schwarz sobre les derivades parcials creuades? 19. Quin és el grau d'homogeneïtat de la funció ? Test Encercla la resposta correcta. Les solucions són al final. 20. Segons el Teorema de Schwarz, quines derivades són iguals? 21. Quina equació estableix el Teorema d'Euler per a funcions homogènies?

Derivades segones Ordre 2 de f(x, y) Pures Derivades respecte a la mateixa variable d²f/dx² Derivar dues vegades respecte a x d²f/dy² Derivar dues vegades respecte a y Mixtes Derivades respecte a variables diferents d²f/dxdy = d²f/dydx Teorema de Schwarz \fielddx \fielddy k f(x, y) = y x Totes les derivades segones pures a) Les derivades parcials mixtes creuades b) Les derivades primeres en x i y c) El gradient i la hessiana d) Hf(x, y) = k·I a) x·( f/ x) + y·( f/ y) = k·f(x, y) b) x·( f/ x) - y·( f/ y) = k c) ( f/ x) + ( f/ y) = k·f(x, y) d) Funcions de diverses variables i derivades parcials 11 22. De quin grau és la funció homogènia f(x, y) = x² + y²? 23.

Quins elements conté la matriu hessiana d'una funció escalar?

4 Formulari Derivades parcials i vector gradient Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'usa Triar variable Considerar la resta constants fixes Derivar amb regles habituals : variables independents de la funció Càlcul de derivades parcials primeres ( , ) : vector gradient format per les derivades primeres Indica la direcció de màxim creixement i la normal a les corbes de nivell Derivada direccional i pla tangent Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'usa Normalitzar Calcular Fer producte escalar : vector de direcció; : vector unitari de norma 1 Mesurar el ritme de canvi de la funció en qualsevol direcció donada : punt de tangència; : equació del pla Aproximació lineal d'una superfície diferenciable al voltant d'un punt Grau 4 a) Grau 2 b) Grau 0 c) Grau 1 d) Els coeficients del pla tangent a) Únicament les derivades primeres b) Els valors del gradient en tres punts c) Totes les derivades parcials de segon ordre d) x, y f(x, y) x f y f f(x, y) = , ( x f y f ) f = v ^ v v f(x , y ) 0 0 D f = v f v ^ v v ^ t(x, y) = f(x , y ) + 0 0 (x , y )(x x f 0 0 x ) + 0 (x , y )(y y f 0 0 y ) 0 (x , y ) 0 0 t(x, y) Funcions de diverses variables i derivades parcials 12 Regla de la cadena i derivació implícita Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'usa amb ; composició externa i interna Derivació de funcions compostes de diverses variables Derivar ambdós membres respecte a tractant Aïllar per regla de la cadena Càlcul de a partir d'una relació implícita Matriu hessiana i funcions homogènies Fórmula o procediment Significat dels símbols Quan s'usa Matriu quadrada simètrica si es compleix Schwarz ( ) Estudi del comportament local i classificació de punts crítics : escalar multiplicador; : grau d'homogeneïtat Comprovació de l'homogeneïtat d'una funció escalar : grau d'homogeneïtat de la funció Teorema d'Euler per a funcions homogènies derivables Errors freqüents per a l'examen Oblidar normalitzar el vector en la derivada direccional: cal dividir sempre pel mòdul abans d'efectuar el producte escalar amb el gradient.

Ometre la derivada interna en la derivació implícita: en derivar respecte a termes amb , cal recordar afegir el factor . Anul·lar variables que multipliquen: quan una variable actua com a coeficient constant en una derivada parcial, es manté multiplicant i no s'anul·la com faria un sumand aïllat. = x f du dh x g f = h(u) u = g(x, y) x y = y(x) dx dy (y ) = dx d 2 2y dx dy dx dy F (x, y) = 0 Hf(x, y) = ( x2 f 2 y x f 2 x y f 2 y2 f 2 ) = x y f 2 y x f 2 f(λx, λy) = λ f(x, y) k λ k x + x f y = y f k f(x, y) k v x y dx dy Funcions de diverses variables i derivades parcials 13 Solucions de les preguntes de repàs 1.

Congelant una de les variables com si fos un nombre constant i derivant l'altra amb les regles convencionals. 2. L'argument del logaritme ha de ser estrictament positiu, de manera que la condició és x - y > 0 (és a dir, x > y). 3. Es deriva de manera habitual i es manté com una constant que multiplica, obtenint . 4. c) Tots els punts on x y. El denominador no pot ser zero, per tant x - y 0, la qual cosa implica x y. 5. a) x² + 3y². Tractant x com una constant, la derivada de x²y respecte a y és x², i la de y³ és 3y². 6. d) 1 / cos²(x). Segons la taula de derivades bàsiques, la derivada de tan(x) és 1 / cos²(x). 7. a) Substituint x=2 i y=3, donant 13.

Només cal avaluar l'expressió: 2² + 3² = 4 + 9 = 13. 8. Seguint la direcció exacta del vector gradient, que indica el creixement màxim d'una funció. 9. Apunta cap a la direcció en què la funció creix més ràpidament i de forma perpendicular a les corbes de nivell. 10. És el vector . 11. Perquè la taxa de variació ha de mesurar el canvi per unitat de distància, requerint un vector unitari. 12. d) És perpendicular a elles. El vector gradient és sempre ortogonal (perpendicular) a les corbes de nivell de la funció. 13. a) Gradient escalar pel vector unitari. La derivada direccional és el producte escalar del gradient pel vector de direcció normalitzat. 14. c) 2x + 4y - 5.

Aplicant la fórmula t(x,y) = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2), s'obté 2x + 4y - 5. 15. a) La màxima taxa de creixement local. El gradient apunta en la direcció de creixement màxim i el seu mòdul representa aquest ritme màxim. 16. Diferenciant tota l'equació respecte a x aplicant la regla de la cadena als termes amb y i aïllant després dy/dx. 17. És dy/dx = -x / y, obtinguda aïllant la derivada després de diferenciar els dos membres respecte a x. 18. Afirma que sempre que la funció sigui prou regular. 19. Té grau 0 perquè multiplicar les variables per no altera el quocient: . 20. b) Les derivades parcials mixtes creuades.

El teorema assegura que les derivades creuades d²f/(dxdy) i d²f/(dydx) coincideixen per a funcions suaus. 21. b) x·( f/ x) + y·( f/ y) = k·f(x, y). El teorema d'Euler estableix directament que x·( f/ x) + y·( f/ y) = k·f(x, y). 22. b) Grau 2. En substituir per λx i λy, el factor comú extret és λ², per tant és de grau 2. 23. d) Totes les derivades parcials de segon ordre. La matriu hessiana és una matriu quadrada formada per totes les derivades parcials segones. x2 y 2xy f(1, 2) = (2, 4) = \field\func\roundx\field\func\roundy \field\func\round f 2 \field\func\roundy\field\func\roundx \field\func\round f 2 \func\round \func\round = 0 1 Funcions de diverses variables i derivades parcials 14