Ejercicio Problem 1. Endomorphism bijectivity, kernel and i… · Matemàtiques URV Exemples 2024

Tema: Aplicacions lineals: nucli, imatge i matriu associada · Del examen Exemples (2024)

Enunciado

Problem 1. Endomorphism bijectivity, kernel and image

Let fd:R3→R3f_d: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 be the endomorphism defined by:fd(x,y,z)=(x+5y+dz, x+dy−z, x+5y)f_d(x, y, z) = (x + 5y + dz,\ x + dy - z,\ x + 5y)

a)

Determine for which values of the real parameter dd the endomorphism fdf_d is bijective.

b)

Find the value of dd for which the vector (5,−1,5)(5, -1, 5) belongs to ker⁡(fd)\ker(f_d).

c)

Find the value of dd for which the vector (−5,1,0)(-5, 1, 0) belongs to ker⁡(fd)∩Img⁡(fd)\ker(f_d) \cap \operatorname{Img}(f_d).

Enunciado: Ejercicio Problem 1. Endomorphism bijectivity, kernel and i… · Matemàtiques URV Exemples 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Values of d for which f_d is NOT bijective (comma-separated)

Solución: 0, 5

a. Determine for which values of the real parameter d the endomorphism f_d is bijective.

Solución: d != 0 and d != 5 / d in R \ {0, 5}

b. Find the value of d for which the vector (5, -1, 5) belongs to ker(f_d).

Solución: 0

c. Find the value of d for which the vector (-5, 1, 0) belongs to ker(f_d) cap Img(f_d).

Solución: 5

Verification of ker(f_d) and Img(f_d) membership

Solución: Condition 1 gives d = 5. For d = 5, the system x + 5y + 5z = -5, x + 5y - z = 1, x + 5y = 0 has solutions with z = -1 and x + 5y = 0, which is consistent. Thus d = 5.

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