Ejercicio 2. Qüestió 1 (5 punts) · Física II URV Recull d'exàmens i problemes d'Electricitat (Física II)

Quina relació guarden les càrregues presents en aquests elements?

Solución: B) Són iguals en mòdul i de signe oposat: dq₁ = -dq₂

Justifiqueu i demostreu analíticament la vostra resposta.

Solución: Considerem un tub de camp elèctric delimitat per línies de força que neix en un element superficial $dS_1$ d'un primer conductor i mor en un element superficial $dS_2$ d'un segon conductor (tots dos en equilibri electrostàtic). Definim una superfície tancada de Gauss $S$ formada per: - La base $S_1$, situada immediatament a l'interior del primer conductor (on $\vec{E} = 0$). - La base $S_2$, situada immediatament a l'interior del segon conductor (on $\vec{E} = 0$). - La superfície lateral $S_{\text{lat}}$ del tub de camp, coincident amb les línies de camp. El flux del camp elèctric a través d'aquesta superfície tancada és: $$\Phi_E = \oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \int_{S_1} \vec{E}\cdot d\vec{S} + \int_{S_2} \vec{E}\cdot d\vec{S} + \int_{S_{\text{lat}}} \vec{E}\cdot d\vec{S}$$ - A les bases $S_1$ i $S_2$, el camp és nul perquè es troben a l'interior de conductors en equilibri: $\int_{S_1} = 0$ i $\int_{S_2} = 0$. - A la superfície lateral, el vector camp $\vec{E}$ és tangent a la superfície en cada punt, de manera que $\vec{E}\cdot d\vec{S} = 0$ i per tant $\int_{S_{\text{lat}}} = 0$. Així doncs, el flux net és nul ($\Phi_E = 0$). Segons el teorema de Gauss, la càrrega neta tancada ha de ser zero: $$Q_{\text{int}} = dq_1 + dq_2 = 0 \implies dq_1 = -dq_2$$ Això demostra que les càrregues dels elements corresponents són oposades.