Examen de Matemáticas I URV 2018 · final - Curs 2018-19 (1a convocatòria)

Exercici 1 (30 punts). Qüestions 1-10 d'opció múltiple

Per a cadascuna de les qüestions que segueixen, trieu l'única opció correcta entre les tres proposades:

1. La funció $F(x) = -\frac{1}{6}\ln(1 - 2x^3)$ és una funció primitiva de:

Exercici 1 (30 punts). Qüestions 1-10 d'opció múltiple

Per a cadascuna de les qüestions que segueixen, trieu l'única opció correcta entre les tres proposades:

2. Donats els vectors $v_1 = (1, 2, -3, 0)$ i $v_2 = (0, 0, 0, a)$, és correcte afirmar que:

Exercici 1 (30 punts). Qüestions 1-10 d'opció múltiple

Per a cadascuna de les qüestions que segueixen, trieu l'única opció correcta entre les tres proposades:

3. El rang de la matriu $A = \begin{pmatrix} a & 3 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 4 & 11 & 1 \end{pmatrix}$:

Exercici 1 (30 punts). Qüestions 1-10 d'opció múltiple

Per a cadascuna de les qüestions que segueixen, trieu l'única opció correcta entre les tres proposades:

4. L'àrea compresa entre les corbes $f(x) = x^2$ i $f(x) = 2x$ val:

Exercici 1 (30 punts). Qüestions 1-10 d'opció múltiple

Per a cadascuna de les qüestions que segueixen, trieu l'única opció correcta entre les tres proposades:

5. El límit $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^3 + 2x + 9}{\sqrt{x^6 + 3}}$ val:

Exercici 1 (30 punts). Qüestions 1-10 d'opció múltiple

Per a cadascuna de les qüestions que segueixen, trieu l'única opció correcta entre les tres proposades:

6. La derivada de la funció $f(x) = \frac{x^2+1}{\sqrt{x+1}}$ és:

Exercici 1 (30 punts). Qüestions 1-10 d'opció múltiple

Per a cadascuna de les qüestions que segueixen, trieu l'única opció correcta entre les tres proposades:

7. Considerant els vectors $v_1 = (1, 0, -1)$, $v_2 = (0, 0, 5)$, $v_3 = (1, 0, 0)$ i $v_4 = (1, 4, 2)$, és cert que:

Exercici 1 (30 punts). Qüestions 1-10 d'opció múltiple

Per a cadascuna de les qüestions que segueixen, trieu l'única opció correcta entre les tres proposades:

8. L'elasticitat de la funció $f(x) = e^{2x^2+3}$ al punt $x = 2$ és igual a:

Exercici 1 (30 punts). Qüestions 1-10 d'opció múltiple

Per a cadascuna de les qüestions que segueixen, trieu l'única opció correcta entre les tres proposades:

9. El sistema d'equacions lineals $$\begin{cases} x + y + 3z + t = 10 \\ 2x + y + z - t = 2 \end{cases}:$$

Exercici 1 (30 punts). Qüestions 1-10 d'opció múltiple

Per a cadascuna de les qüestions que segueixen, trieu l'única opció correcta entre les tres proposades:

10. Siguin els vectors $v_1 = (2, 1, -1, 0)$, $v_2 = (1, 1, 1, 1)$ i $v_3 = (1, a, 0, b)$. El vector $v_3$ és ortogonal simultàniament a $v_1$ i a $v_2$ si:

Exercici 2 (35 punts). Optimització del benefici

La funció d'ingressos d'una empresa ve donada per $I(q) = (40 - 2q)q$ i la seva funció de cost total és $C(q) = q^2 + 10q + 20$.

a.

Determineu la quantitat $q$ que maximitza el benefici total de l'empresa.

b.

Indiqueu el valor del benefici màxim que s'assoleix.

Exercici 3 (35 punts). Discussió i resolució de sistema lineal

Es considera el següent sistema d'equacions lineals dependent del paràmetre real $a$:

$$\begin{cases} x + ay + a^2z = 1 \\ x + ay + az = a \\ x + a^2y + a^2z = a^2 \end{cases}$$

a.

Discutiu el sistema segons els diferents valors del paràmetre $a$.

Compatible determinat

Compatible indeterminat

Incompatible

Compatible determinat

Compatible indeterminat

Incompatible

Compatible determinat

Compatible indeterminat

Incompatible

b.

Resoleu el sistema per al cas particular $a = -1$.

$x =$

$y =$

$z =$