Examen de Física UPC 2023 · Juny

Problema 1. Esfera dieléctrica y cascarón conductor concéntricos

Una esfera dieléctrica de radio $R_1 = 1\text{ m}$, cuyo centro se ubica en el origen de coordenadas, alberga una carga de $2\text{ nC}$ distribuida de forma uniforme en su volumen con densidad volumétrica $\rho$. De manera concéntrica a ella se sitúa una corteza conductora de radios interior $R_2 = 2\text{ m}$ y exterior $R_3 = 3\text{ m}$, la cual posee una carga neta $Q = 3\text{ nC}$.

a)

Determinar el flujo del campo eléctrico que atraviesa una superficie cúbica centrada en el origen con aristas de longitud $l = 1\text{ m}$.

b)

Calcular la magnitud del campo eléctrico en aquellos puntos situados a distancias de $0{,}5\text{ m}$, $1{,}5\text{ m}$ y $2{,}5\text{ m}$ respecto al origen.

c)

Sabiendo que el potencial eléctrico en el conductor es de $15\text{ V}$, determinar el potencial electrostático en el centro del sistema (origen de coordenadas).

Problema 2. Circuito de condensadores con dieléctricos

Se dispone del circuito mostrado en la figura, constituido por tres condensadores planos inicialmente descargados de capacidades $C_1 = 2\ \mu\text{F}$, $C_2 = 3\ \mu\text{F}$ y $C_3 = 9\ \mu\text{F}$.

Entre los terminales $a$ y $b$ se conecta una fuente que establece una diferencia de potencial constante. Con la fuente conectada, se introduce en el condensador $C_1$ un dieléctrico de constante dieléctrica $\varepsilon_r = 1{,}5$, tras lo cual se mide su carga y resulta ser de $18\ \mu\text{C}$.

Posteriormente, manteniendo en todo momento conectada la fuente, se retira el dieléctrico de $C_1$ y se introduce un dieléctrico de constante $\varepsilon_r = 7/3$ en el condensador $C_2$. Determinar la variación de carga $\Delta q_1$ que experimenta el condensador $C_1$.

Problema 3. Campo magnético y fuerza de Lorentz sobre una carga puntual

Dos conductores rectilíneos de longitud infinita transportan corrientes de intensidad $I_1 = I_2 = 100\ \text{A}$ en los sentidos señalados en la figura. Ambos conductores permanecen fijos. El primero atraviesa el punto $A = (0, -0{,}04, 0)\ \text{m}$ y es paralelo al eje $x$, mientras que el segundo pasa por el punto $C = (0, +0{,}04, 0)\ \text{m}$ y es paralelo al eje $z$.

Se considera el punto $P = (0, 0, 0{,}03)\ \text{m}$ localizado sobre el eje $z$, por el que transita una partícula de carga $q = 1\ \mu\text{C}$ y masa $m = 10^{-8}\ \text{kg}$ con una velocidad $\vec{v} = 10^6\vec{i}\ \text{m/s}$.

Dato:

$B_{\text{fil}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$, $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\ \text{S.I.}$

a)

Hallar el vector campo magnético total $\vec{B}$ generado por ambos conductores en el punto $P$. Expresa las componentes del vector en teslas (T).

$B_x$: $\text{T}$

$B_y$: $\text{T}$

$B_z$: $\text{T}$

b)

Calcular el módulo de la aceleración que adquiere la partícula al pasar por el punto $P$.

Problema 4. Inducción electromagnética en una espira triangular

Una espira con geometría de triángulo rectángulo de catetos $a = 4\text{ m}$ (base horizontal) y $b = 3\text{ m}$ (lado vertical) penetra con velocidad constante $\vec{v} = 2\vec{i}\text{ m/s}$ en una región del espacio donde actúa un campo magnético uniforme $\vec{B} = 2\vec{k}\text{ T}$.

Mediante un mecanismo externo se asegura que la velocidad de la espira se mantenga constante. En el instante inicial $t = 0$ el vértice agudo delantero entra en la región con campo, tal como indica la figura. Suponiendo una resistencia eléctrica total de la espira de $R = 1\ \Omega$, para el instante $t = 1\text{ s}$:

a)

Demostrar que la intensidad de corriente inducida es de $6\text{ A}$ y justificar físicamente su sentido de circulación.

b)

Determinar el vector fuerza magnética que actúa sobre cada uno de los tres lados de la espira para $t = 1\text{ s}$.