Examen de Física UPC 2023 · Juny

Problema 1. Corteza esférica conductora

Una corteza esférica conductora concéntrica de radio interior $a$ y radio exterior $b$ alberga una carga neta $Q = 3\text{ nC}$. En su centro $O$ se encuentra alojada una carga puntual $q = 2\text{ nC}$.

Se conoce que el potencial eléctrico al que se encuentra dicha corteza conductora es de $15\text{ V}$, y que en los puntos situados a distancias del centro $r_1 = 1\text{ m}$ y $r_2 = 5\text{ m}$ el potencial toma los valores de $24\text{ V}$ y $9\text{ V}$, respectivamente. Con estos datos, determine los radios $a$ y $b$ de la corteza conductora.

Dato: constante electrostática en el vacío $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9 \times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$.

Problema 2. Circuito con conmutación de condensadores

En el circuito mostrado en el esquema disponemos de tres condensadores de capacidades $C_1 = 1\ \mu\text{F}$, $C_2 = 6\ \mu\text{F}$ y $C_3 = 3\ \mu\text{F}$, conectados con una fuente de tensión de $V = 12\ \text{V}$ y dos interruptores $s_1$ y $s_2$.

Se realizan sucesivamente las siguientes operaciones:

Se cierra el interruptor $s_1$ mientras $s_2$ se mantiene abierto, hasta que los condensadores $C_2$ y $C_3$ queden plenamente cargados.

Una vez alcanzada la carga de los condensadores, se procede a abrir $s_1$ y a cerrar $s_2$.

Tras cargarse $C_1$ y estabilizarse el sistema, se introduce en el condensador $C_3$ un material dieléctrico de constante relativa $\varepsilon_r = 2$.

Determine la carga final acumulada en cada uno de los condensadores al completarse todo el proceso.

$Q_1$:

$Q_2$:

$Q_3$:

Problema 3. Campo magnético de hilo rectilíneo

Un hilo conductor rectilíneo de longitud infinita transporta una corriente de $50\text{ A}$ orientada de forma paralela al eje $x$. La recta que contiene al conductor pasa por el punto de coordenadas $(3, -2, -1)\text{ cm}$ y el sentido en el que circula la corriente coincide con el vector unitario $\vec{i} = (1, 0, 0)$.

Calcule el vector campo magnético $\vec{B}$ generado por este conductor en el punto $P = (2, 2, 2)\text{ cm}$.

Problema 4. Fuerza magnética sobre espira triangular

Una espira con geometría de triángulo rectángulo de base $a = 4\text{ m}$ y altura $h = 3\text{ m}$ se desplaza en el plano $x-y$ hacia una región donde reina un campo magnético uniforme $\vec{B} = (0, 0, 2)\text{ T}$, con una velocidad constante $\vec{v} = (1, 0, 0)\text{ m/s}$. La resistencia óhmica de la espira es de $R = 1\ \Omega$.

Para conseguir que la velocidad se mantenga uniforme al penetrar en dicha región, se ejerce una fuerza externa en la dirección del eje $x$. Para el instante $t = 2\text{ s}$ (considerando $t = 0$ el momento en que el cateto vertical frontal empieza a ingresar en el campo magnético), calcule la fuerza magnética neta que el campo ejerce sobre cada uno de los tres lados o segmentos de la espira.

1.

2.

3.

Pregunta 1. Condensadores en serie con dieléctrico

Se dispone de dos condensadores planos descargados con capacidades $C_1 < C_2$, conectados en serie a los bornes de un generador de fem, alcanzando cargas $Q_1$ y $Q_2$ respectivamente. Manteniendo el generador conectado, se inserta un dieléctrico de permitividad relativa $\varepsilon_r$ en el interior de $C_1$. Si denotamos por $Q'_1$ y $Q'_2$ las nuevas cargas de cada condensador, se verifica que:

Pregunta 2. Condensadores en paralelo con dieléctrico

Dos condensadores de placas paralelas de capacidades $C_1$ y $C_2$ se encuentran asociados en paralelo y conectados a una fuente continua, acumulando cargas $Q_1$ y $Q_2$. Sin desconectar la fuente, se coloca un dieléctrico de constante relativa $\varepsilon_r$ en el condensador $C_2$. Designando como $Q'_1$ y $Q'_2$ las cargas resultantes, se cumple:

Pregunta 3. Separación de placas en condensador aislado

Un condensador plano con separación entre armaduras igual a $d$ es cargado por una fuente hasta alcanzar una carga $Q$, existiendo un campo eléctrico uniforme de módulo $E$ entre sus placas. A continuación se aísla de la fuente y se duplica la separación entre las armaduras hasta $2d$. El nuevo valor del campo eléctrico es:

Pregunta 4. Carga en corteza esférica con carga interior

Se tiene una esfera conductora que posee una carga neta de $-q$. En su interior existe una cavidad hueca que aloja una carga puntual $+q$ aislada. Una vez se alcanza el equilibrio electrostático, ¿qué carga neta residirá en la superficie externa de la esfera conductora?

Pregunta 5. Cociente tau/C en descarga de condensador

Durante el proceso de descarga de un condensador de capacidad $C$ a través de un resistor de resistencia $R$, el cociente entre la constante de tiempo $\tau$ y la capacidad $C$ resulta ser:

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Pregunta 6. Tensión de hilo entre dos cargas electrostáticas

Dos cargas puntuales positivas de $2\text{ mC}$ y $4\,\mu\text{C}$ se hallan separadas a una distancia de $3\text{ m}$. Con el propósito de impedir que la repulsión mutua las separe, se mantienen unidas mediante un filamento no conductor inextensible. El módulo de la tensión a la que se halla sometido dicho filamento es:

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Pregunta 7. Potencial electrostático con referencia desplazada

Una carga puntual de $-3\text{ nC}$ se ubica en el punto $(4,0)\text{ m}$. Si el potencial eléctrico total originado por esta carga en la posición $(13,0)\text{ m}$ es de $+9\text{ V}$, determine el potencial electrostático en el punto $(1,0)\text{ m}$:

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Pregunta 8. Trabajo electrostático al duplicar distancia

Dos cargas eléctricas puntuales y positivas del mismo valor $q_1 = q_2 = q$ están inicialmente distanciadas un tramo $d$. Manteniendo fija la carga $q_1$, se deja que la carga $q_2$ se desplace en línea recta alejándose una distancia adicional $d$, de forma que su separación final pasa a ser $2d$. El trabajo realizado por el campo electrostático sobre $q_2$ a lo largo de este trayecto vale:

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Pregunta 9. Ley de Ohm por regresión lineal

Con el fin de determinar experimentalmente el valor de una resistencia y verificar el cumplimiento de la ley de Ohm, se registra una serie de pares de valores de diferencia de potencial (en voltios, V) y de intensidad de corriente (en miliamperios, mA). Asignando la intensidad a la variable $x$ y la diferencia de potencial a la variable $y$, el ajuste por mínimos cuadrados proporciona la recta $y = 4x + 0.5$. Para una tensión entre bornes de la resistencia de 7.5 V, la intensidad predicha que circula por ella es:

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Pregunta 10. Propiedades de conductor esférico en equilibrio

En un conductor esférico en estado de equilibrio electrostático cargado con una carga neta $Q < 0$, señale cuál de las afirmaciones siguientes resulta falsa:

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Pregunta 11. Balanza de corriente y campo de electroimán

En una sesión de laboratorio dedicada al estudio de la fuerza magnética sobre un tramo conductor de longitud $L = 2\text{ cm}$, se establece una corriente fija $I_B = 2\text{ A}$ en el devanado del electroimán y una corriente variable $I$ en el conductor. El campo del electroimán sigue la relación $B = \mu n I_B$. Al medir la fuerza $F$ frente a la intensidad $I$, la recta de calibrado experimental obtenida es $F = 0.12 I - 0.003$ (en unidades del SI). A partir de estos datos, el valor del producto $\mu n$ (en T/A) es:

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Pregunta 12. Radio de curvatura de partícula en campo magnético

En una zona del espacio existe un campo magnético uniforme $\vec{B} = (0, 0, 2)\text{ mT}$. Una partícula de carga negativa con valor absoluto $q = 1\ \mu\text{C}$ y masa $m = 2 \times 10^{-18}\text{ kg}$ se introduce en dicha región con una velocidad inicial $\vec{v} = (4, 0, 3) \times 10^9\text{ m/s}$. El radio de la trayectoria helicoidal (radio del movimiento circular proyectado en el plano perpendicular al campo) vale:

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Pregunta 13. Energía de configuración de tres cargas puntuales

Un sistema electrostático está formado por tres cargas puntuales $-q$, $-q$ y $+q$ colocadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado $l$. Si se adopta como origen de energía potencial el estado en el que las cargas se encuentran infinitamente separadas, la energía propia de configuración electrostática del sistema es:

Pregunta 14. Ley de Gauss sobre cubo centrado en el origen

Dos cargas puntuales $q_1 = +2q$ y $q_2 = -q$ se encuentran posicionadas en el origen $(0,0,0)$ y en el punto $(1,0,0)\text{ m}$, respectivamente. Si se define una superficie gaussiana cúbica de $1\text{ m}$ de arista centrada en el origen, el flujo del campo eléctrico que atraviesa dicha superficie cerrada es:

Pregunta 15. Tercera ley de Newton en interacción electrostática

Dos cargas $q_1$ y $q_2$ interaccionan entre sí mediante la fuerza electrostática descrita por la ley de Coulomb. Si la fuerza que ejerce $q_1$ sobre $q_2$ viene dada por $\vec{F}_{12} = (-2, -3, -4)\text{ N}$ y la ejercida por $q_2$ sobre $q_1$ es $\vec{F}_{21} = (+2, +3, +4)\text{ N}$, se puede asegurar que ambas cargas:

Pregunta 16. Ley de Lenz en espiras móviles junto a corriente

En el plano $x-y$ (plano del papel), un hilo recto e indefinido coincide con el eje vertical $y$ y transporta una corriente continua $I$ dirigida hacia las $+y$. A ambos lados se sitúan inicialmente en reposo dos espiras cuadradas por las que no circula corriente alguna.

En un determinado instante las espiras inician sendos movimientos con velocidades $\vec{v}_1 = (-1, -2)\text{ m/s}$ (espira de la izquierda) y $\vec{v}_2 = (+3, +1)\text{ m/s}$ (espira de la derecha). Si se denominan $I_1$ e $I_2$ a las corrientes inducidas en cada una, sus sentidos de circulación son:

Pregunta 17. Relación de intensidades y voltajes en paralelo

Considere el circuito eléctrico de corriente continua representado en la figura, donde se señalan la fem $\mathcal{E}$, la corriente total de la fuente $I$ y la corriente que atraviesa la rama con la resistencia $R_2$ ($I_2$).

Indique cuál de las siguientes relaciones algebraicas es rigurosamente cierta:

Pregunta 18. Módulo de fem inducida cuando el flujo es nulo

El flujo magnético a través de una espira plana varía con el tiempo conforme a la relación cuadrática $\Phi(t) = t^2 - t - 2\text{ Wb}$ (para $t > 0$). En el instante de tiempo en que el flujo magnético se anula, el módulo de la fuerza electromotriz inducida en la espira es:

Pregunta 19. Campo magnético de dos conductores paralelos

Dos conductores rectilíneos de longitud infinita transportan corrientes de magnitudes idénticas $I_1 = I_2$. Ambos hilos son paralelos al eje $x$ y cruzan el plano $y-z$ por los puntos $(0, -s, 0)$ y $(0, +s, 0)$, respectivamente.

Se calcula el campo magnético neto en el punto sobre el eje vertical $P = (0, 0, h)$ y se constata que está puramente alineado con el eje $z$ positivo: $\vec{B} = (0, 0, +B)$, donde $B > 0$. Considerando el convenio de que una corriente positiva viaja en el sentido positivo del eje $x$ y una negativa en el sentido opuesto, para que dicho resultado sea posible es necesario que:

Pregunta 20. Fuerza de Lorentz sobre carga negativa

Una partícula puntual que posee una carga eléctrica negativa con valor absoluto $q$ posee, en un determinado instante, una velocidad $\vec{v} = +v\vec{j}$. Si en esa misma región actúa un campo magnético uniforme $\vec{B} = B\vec{i}$, la fuerza magnética $\vec{F}$ que actúa sobre la partícula es: