Problema 3 · Física I UPC 2024

a) Reacció horitzontal a l'encastament C, $C_H$

Solución: $0$ N / $0$ kN

a) Reacció vertical a l'encastament C, $C_V$

Solución: $1700$ N / $1{,}7$ kN

a) Moment reactiu a l'encastament C, $M_C$ (conveni antihorari positiu)

Solución: $-2300$ N·m / $-2{,}3$ kN·m

b) Representeu els diagrames d'esforç tallant (V) i de moment flector (M) al llarg de tota la biga, indicant els valors característics i les funcions en cada tram.

Solución: Lleis i diagrames d'esforços interns prenent l'origen d'abscisses $x$ a l'extrem lliure $A$ ($0 \le x \le 5\text{ m}$): Esforç tallant, $V(x)$: - Tram $AB$ ($0 \le x < 2\text{ m}$): Tallant constant degut a la càrrega puntual a $A$: $$V(x) = -500\text{ N}$$ - Tram $BC$ ($2 < x \le 5\text{ m}$): La càrrega distribuïda fa decréixer el tallant linealment amb un pendent de $-400\text{ N/m}$: $$V(x) = -500 - 400(x - 2)$$ A $x = 2\text{ m}$: $V(2) = -500\text{ N}$. A $x = 5\text{ m}$: $V(5) = -500 - 400(3) = -1700\text{ N}$. A l'extrem $C$, la reacció $C_V = 1700\text{ N}$ tanca el diagrama a 0. Moment flector, $M(x)$: - A l'extrem $A$ ($x = 0$), el parell horari de $2000\text{ N}\cdot\text{m}$ produeix un salt inicial: $M(0) = -2000\text{ N}\cdot\text{m}$. - Tram $AB$ ($0 \le x \le 2\text{ m}$): Com que $V(x) = -500\text{ N}$, la llei de moments és una recta de pendent positiu ($+500$): $$M(x) = -2000 + 500x$$ Al punt $B$ ($x = 2\text{ m}$): $M(2) = -2000 + 500(2) = -1000\text{ N}\cdot\text{m}$. - Tram $BC$ ($2 \le x \le 5\text{ m}$): Amb la càrrega distribuïda, el moment descriu una paràbola còncava cap amunt: $$M(x) = -2000 + 500x + 200(x - 2)^2$$ A l'extrem $C$ ($x = 5\text{ m}$): $$M(5) = -2000 + 500(5) + 200(3)^2 = -2000 + 2500 + 1800 = +2300\text{ N}\cdot\text{m}$$ El moment reactiu d'encastament ($2300\text{ N}\cdot\text{m}$ en sentit horari) tanca el diagrama a 0.