Problema 3 · Física I UPC 2024

a. Reaccions als suports: extrem A ($R_A$)

Solución: $0$ t

a. Reaccions a l'encastament C: component horitzontal ($C_H$)

Solución: $0$ t

a. Reaccions a l'encastament C: component vertical ($C_V$)

Solución: $3$ t

a. Reaccions a l'encastament C: moment reactiu ($M_C$)

Solución: $-6$ t·m

b. i c. Diagrames d'esforç tallant (V) i de moment flector (M)

Solución: b. Diagrama de força tallant V(x): Prenent l'origen $x = 0$ a l'extrem $A$: - Tram AB ($0 \le x < 2\text{ m}$): A $x = 0$, $V(0) = 0$. A causa de la càrrega distribuïda descendent ($q = 1\text{ t/m}$), el tallant decreix linealment ($\frac{dV}{dx} = -q = -1$): $$V(x) = -x \implies V(2^-) = -2\text{ t}$$ - Punt B ($x = 2\text{ m}$): Discontinuïtat pel salt de la càrrega puntual d'$1\text{ t}$ cap avall: $$V(2^+) = -2\text{ t} - 1\text{ t} = -3\text{ t}$$ - Tram BC ($2\text{ m} < x \le 4\text{ m}$): Sense càrrega distribuïda, el tallant es manté constant: $$V(x) = -3\text{ t}$$ A $x = 4\text{ m}$ (punt $C$), la reacció $C_V = +3\text{ t}$ tanca el diagrama a zero. c. Diagrama de moment flector M(x): - Extrem A ($x = 0$): El moment horari concentrat aplicat a l'extrem esquerre tracciona les fibres inferiors, donant un valor positiu inicial: $$M(0) = +2\text{ t}\cdot\text{m}$$ Com que $V(0) = 0$, la tangent a l'origen és horitzontal ($\frac{dM}{dx} = 0$). - Tram AB ($0 \le x \le 2\text{ m}$): Com que $\frac{dM}{dx} = V(x) = -x$, el moment decreix segons una paràbola de segon grau amb concavitat cap avall: $$M(x) = 2 - \frac{x^2}{2}$$ A la secció $B$ ($x = 2\text{ m}$): $$M(2) = 2 - \frac{2^2}{2} = 0\text{ t}\cdot\text{m}$$ - Tram BC ($2\text{ m} \le x \le 4\text{ m}$): Com que el tallant és constant i negatiu ($V = -3\text{ t}$), el flector decreix linealment amb pendent negatiu constant ($\frac{dM}{dx} = -3$): $$M(x) = M(2) + \int_2^x V\,dx = 0 - 3(x - 2)$$ A l'encastament $C$ ($x = 4\text{ m}$): $$M(4) = -3(4 - 2) = -6\text{ t}\cdot\text{m}$$ El signe negatiu indica tracció a les fibres superiors amb un valor de $6\text{ t}\cdot\text{m}$, que equilibra exactament el moment reactiu horari de la paret.