Recopilación de ejercicios de examen: Funciones de varias variables

Ejercicio 1. Existencia de derivadas parciales y diferenciabilidad

Sea $f(x, y, z)$ una función tal que existen todas sus derivadas parciales primeras en $(1,0,-1)$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

Ejercicio 2. Pendiente y derivadas parciales de ln(x^2+y^2+1)

Dada la función $z = f(x, y) = \ln(x^2 + y^2 + 1)$, seleccionar la afirmación correcta respecto a su pendiente en el punto $(-1,1)$:

Ejercicio 3. Relación entre continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad

Indicar cuál de las siguientes proposiciones es cierta:

.

Ejercicio 4. Derivadas parciales y diferenciabilidad

Determinar si es verdadero o falso: «Sea $f(x, y, z)$ una función tal que existen sus primeras derivadas parciales en $(1,0,-1)$, entonces $f$ es diferenciable en este punto».

Verdadero

Falso

Ejercicio 5. Diferenciabilidad de función a trozos

Dada la función:$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{y^2}{xy} & \text{si } y \neq 0 \\ x^2 & \text{si } y = 0 \end{cases}$$

a.

Estudiar si es diferenciable en los puntos $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ con $y \neq 0$.

b.

Estudiar si es diferenciable en los puntos $(x, 0) \in \mathbb{R}^2$ con $x \neq 0$.

Ejercicio 6. Límite de función racional en el origen

El comportamiento de $f(x, y) = \frac{y(x+y)^2}{x(x^2+y^2)}$ cuando $(x, y) \to (0,0)$ es:

Ejercicio 7. Límite doble de xy/(x^2+y^2)

Indicar si es verdadero o falso:$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy}{x^2 + y^2} = 0$$

Verdadero

Falso

Ejercicio 8. Límites iterados y límite doble

Determinar si es verdadero o falso:

«Si $\lim_{x \to 0} (\lim_{y \to 0} f(x, y)) = 0$, entonces $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0$».

Verdadero

Falso

Ejercicio 9. Límites direccionales e iterados

Determinar si es verdadero o falso:

«Si existen los límites iterados $\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x, y)$, $\lim_{y \to 0} \lim_{x \to 0} f(x, y)$ y los direccionales $\lim_{x \to 0} f(x, mx)$ y coinciden en un valor, entonces existe el límite doble y es igual a dicho valor».

Verdadero

Falso

Ejercicio 10. Existencia de límite y continuidad

Determinar si es verdadero o falso: «Si $f: D \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ posee límite en un punto del dominio, entonces $f$ es continua en dicho punto».

Verdadero

Falso

Ejercicio 17. Extremo relativo y global de x^2+y^2

Indicar si es verdadero o falso: «Dada la función $f(x,y) = x^2 + y^2$, el punto $(0,0)$ es un mínimo local y también global».

Verdadero

Falso

Ejercicio 18. Derivadas parciales en el origen de x/(x+y)

Dada la función:$$h(x,y) = \begin{cases} \frac{x}{x+y} & \text{si } x+y > 0 \\ 0 & \text{si } x+y \le 0 \end{cases}$$

Seleccionar la afirmación correcta:

Ejercicio 19. Continuidad y derivabilidad de 3xy/(x^2+y^2)

Dada la función:$$f(x,y) = \begin{cases} \frac{3xy}{x^2+y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{si } (x,y) = (0,0) \end{cases}$$

Ejercicio 20. Continuidad y derivabilidad de 6xy/(x^2+y^2)

Para la función $f(x, y) = \frac{6xy}{x^2+y^2}$ si $(x, y) \neq (0,0)$ y $f(0,0) = 0$:

.

Ejercicio 21. Continuidad en el origen de xy/(x^2+y^2)

Determinar si es verdadero o falso: «La función $f(x, y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ si $(x, y) \neq (0,0)$ y $f(0,0) = 0$ es continua en $(0,0)$».

Verdadero

Falso

Ejercicio 22. Continuidad y derivabilidad de 2xy/(x^4+y^4)

Dada la función $f(x, y) = \frac{2xy}{x^4+y^4}$ si $(x, y) \neq (0,0)$ y $f(0,0) = 0$, se puede afirmar que:

Ejercicio 23. Continuidad y derivabilidad de x^2 y^2/(x^2+y^2)

La función $f(x, y) = \frac{x^2 y^2}{x^2+y^2}$ si $(x, y) \neq (0,0)$ y $f(0,0) = 0$ es:

Ejercicio 24. Continuidad en el origen de e^(2y/x)

Determinar si es verdadero o falso: «La función $f(x, y) = e^{2y/x}$ si $x \neq 0$ y $f(0, y) = 1$ es continua para todo $(x, y) \in \mathbb{R}^2$».

Verdadero

Falso

Ejercicio 25. Derivabilidad parcial en la frontera

Dada la función $f(x, y) = x + 2y^2$ si $x > y$ y $f(x, y) = xy^2$ si $x \le y$:

Ejercicio 26. Diferenciabilidad de función constante casi en todo punto

Determinar si es verdadero o falso: «La función $f(x, y) = 3$ si $(x, y) \ne (0,0)$ y $f(0,0) = 0$ es diferenciable en todo $\mathbb{R}^2$».

Verdadero

Falso

Ejercicio 27. Derivadas parciales de función constante casi en todo punto

Determinar si es verdadero o falso: «La función $f(x, y) = 3$ si $(x, y) \ne (0,0)$ y $f(0,0) = 0$ tiene derivadas parciales $f'_x(x,y) = f'_y(x,y) = 0$ en todo $\mathbb{R}^2$, las cuales son continuas, por lo que es diferenciable en $\mathbb{R}^2$».

Verdadero

Falso

Determinar si es verdadero o falso: «Si $g(x,y)$ verifica $\lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y) = 1$, entonces $f(x,y) = g(x,y)$ para $(x,y) \neq (0,0)$ y $f(0,0) = 1$ es continua en todo punto».

Verdadero

Falso

Dada la función $f(x,y) = (x + y)^2 \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x+y}\right)$ si $x + y \neq 0$ y $f(x,y) = 0$ si $x + y = 0$:

a.

Estudiar la continuidad de la función.

b.

Obtener las funciones derivadas parciales de primer orden.

c.

Comprobar si las derivadas parciales son continuas y deducir la diferenciabilidad.

Estudiar si $f(x, y) = \frac{\operatorname{sen}(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$ si $(x,y) \neq (0,0)$ y $f(0,0) = 0$ es continua, derivable parcialmente y diferenciable en $\mathbb{R}^2$.

Dada la función $f(x,y) = e^{xy}$ si $(x,y) \neq (0,0)$ y $f(0,0) = 1$:

a.

¿Es diferenciable en cualquier punto?

Sí

No

b.

Dada $f(x, y) = \frac{5x^2 y}{x^3 + y^3}$ si $(x, y) \neq (0,0)$ y $f(0,0) = 0$:

a.

Estudiar si es continua en $(0,0)$.

b.

Estudiar si es derivable parcialmente en $(0,0)$.

c.

¿Qué se puede concluir sobre la diferenciabilidad en $(0,0)$?

Determinar si es verdadero o falso: «Una función debe estar definida en cualquier punto en el que exista la derivada».

Verdadero

Falso

Determinar si es verdadero o falso: «La función $f(x, y) = xy\operatorname{sen}(1/y)$ si $y \neq 0$ y $f(x,0) = x$ es continua en todo punto».

Verdadero

Falso

Determinar si es verdadero o falso: «En la función $f(x, y) = \frac{xy}{x+y}$ si $x \neq y$ y $0$ si $x = y$, para calcular $\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)$ se debe derivar como un cociente y sustituir a continuación».

Verdadero

Falso

Ejercicio 36. Productividad media del trabajo

En la función de producción $Q(K, L) = 9K^{2/3}L^{1/3}$, para $(K, L) = (8,27)$, la productividad media del trabajo $PMe_L$ es:

Ejercicio 37. Incremento marginal de la producción

En la función de producción $Q(K, L) = 3K^{2/3}L^{1/3}$, partiendo de $(K, L) = (8,27)$, si incrementamos en una unidad el capital ($\Delta K = 1$), la producción aumentará aproximadamente en:

Ejercicio 38. Carácter de factores y elasticidades

La función de producción es $Q(K, L) = 100K^{0.5}L^{0.2}$. Entonces:

Ejercicio 39. Clasificación de factores de Cobb-Douglas

En la función de producción $Q(K, L) = K^{2/3}L^{1/3}$, los factores $K$ y $L$ resultan ser:

Ejercicio 40. Productividades marginales y diferencial total

Sea $Q(K, L) = 3L + 2KL + 5K^2 + e^{KL}$ la función de producción en miles de unidades:

a)

Calcular las productividades marginales en $(1,2)$ y estimar la variación de $Q$ si $K$ baja a $0,9$ y $L$ sube a $2,1$.

b)

Determinar si los factores $K$ y $L$ son cooperantes, competitivos o independientes.

Ejercicio 41. Relación entre bienes en función de demanda logarítmica

Dada la función de demanda $D(p, q, R) = \ln\left(\frac{R}{p+q}\right)$:

Ejercicio 42. Elasticidades parciales y diferencial de demanda

Dada la demanda $Q(p_1, p_2, y) = \ln\left(\frac{y}{p_1+p_2}\right)$:

a)

Calcular las elasticidades parciales respecto a $p_1$, $p_2$ e $y$ en $p_1 = 2$, $p_2 = 3$, $y = 100$.

b)

¿Son bienes complementarios, sustitutos o independientes? Razona tu respuesta.

c)

Usar la diferencial para estimar la variación de demanda si $p_1 = 1.9$ y $p_2 = 3.1$.

Ejercicio 43. Elasticidad de la demanda respecto al precio propio

Para $Q(p_1, p_2, R) = \ln\left(\frac{R}{p_1+p_2}\right)$ con $p_1 = 2$, $p_2 = 3$, $R = 100$:

Ejercicio 44. Demandas marginales e incrementos

Sea $Q(p_1, p_2, M) = \ln\left(\frac{M}{p_1+p_2}\right)$:

a)

Calcular las demandas marginales en $p_1 = 2$, $p_2 = 3$, $M = 100$.

b)

Para un incremento en $p_1$ de 0,02 unidades, ¿qué descenso porcentual provoca en la demanda?

%

c)

Aproximar el cambio en la cantidad si $p_1 = 1.9$ y $p_2 = 3.1$ con renta constante.

d)

¿Qué tipo de bienes son? Razona la respuesta.

Ejercicio 45. Elasticidades parciales y clasificación de bienes

Dada la demanda $Q(p_1, p_2, R) = \frac{R}{p_1 + p_2}$:

a. Calcular las elasticidades parciales en $p_1 = 15, p_2 = 25, R = 1000$.

b. Razonar qué tipo de bienes son.

a)

Calcula las elasticidades parciales en el punto $(15, 25, 1000)$:

b)

Razona qué tipo de bienes son (relación entre ambos y según la renta):

Sea $Q(p, q, R) = \frac{2R}{pq^2(p+q)}$ con $p = 1$, $q = 1$, $R = 200$. Seleccionar la opción correcta:

Ejercicio 47. Variación porcentual ante cambio en el precio

Para la función de demanda $D(p,q) = \frac{20}{p^2 q}$:

.

Ejercicio 48. Tipología de bienes según demanda cruzada

En la demanda $x(p,q) = \frac{40}{p q^2} - p$, los dos bienes son:

.

Ejercicio 49. Curva de nivel de paraboloide hiperbólico

La curva de nivel correspondiente a $z = 2$ para la función $z = x^2 - y^2 + 3$ viene dada por:

.

Ejercicio 50. Isocuanta de función de producción

Para $Q(K, L) = 10K^2 L^{0.5}$, la isocuanta correspondiente al nivel $Q = 10$ es:

.

Ejercicio 51. Curvas de nivel y productividades marginales

Dada la función de producción $Q(K, L) = 20K^{0.5}L^3$:

a.

Representar las isocuantas para $Q = 20$ y $Q = 40$ expresando $K$ en función de $L$:

b.

Calcular e interpretar las productividades marginales en $K = 4, L = 2$. ¿Son decrecientes respecto a cada factor?

Sí

No

Sí

No

c.

¿Son factores complementarios/cooperantes, competitivos o independientes?

d.

Usar la diferencial para estimar la variación de producción al pasar a $K = 4.1, L = 1.9$:

Ejercicio 52. Función de producción homogénea y Euler

Dada la producción $Q(K, L) = \frac{L^2}{K}(2\ln L - \ln K^2)$ con $L > K > 0$:

a.

Demostrar sin calcular derivadas que $KQ'_K + LQ'_L = Q$. ¿Cuál es el grado de homogeneidad de la función?

b.

¿Presenta rendimientos a escala y de qué tipo?

c.

Escribe las productividades marginales obtenidas al derivar $Q(K,L) = 2\frac{L^2}{K}\ln(L/K)$:

d.

¿Cómo se clasifican los factores de producción entre sí sabiendo que $L > K$?

Ejercicio 53. Análisis de políticas mediante diferencial total

En una economía cerrada la renta total es $y = x + z$, con $x(p,r) = p/r$ y $z(t,p) = -t^3 + 4tp - 2p^2 + 1$ (en billones de pesetas). En la situación inicial $r = 10, p = 2, t = 3$, el Gobierno mantiene $t$ ($\Delta t = 0$), baja el tipo de interés en 1 punto ($\Delta r = -1$) y aumenta la productividad en 0,2 puntos ($\Delta p = 0.2$):

a.

Aproximar la variación en $x$, $z$ y en la renta total $y$. ¿Es acertada la política?

Sí

No

b.

Aproximación lineal de $z(t,p)$ en torno a $(1,1)$ y evaluar en $(1.1, 0.9)$:

Ejercicio 54. Convexidad de curvas de indiferencia

Determinar si es verdadero o falso: «Dada la función de beneficio $B(x, y) = 10x^2 + y$ con $x, y > 0$, las curvas de nivel expresadas como $y = y(x)$ son decrecientes y convexas».

Verdadero

Falso

Ejercicio 55. Curvas de nivel, diferencial y Taylor de ln(x^2+y^2)

Considérese la función $z = f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$:

a)

Determinar la curva de nivel para $z = \ln 5$. Describe qué tipo de curva es, su centro y su radio:

b)

Calcular las derivadas parciales primeras y $dz$ en $(1,2)$.

c)

Calcular las derivadas segundas y $d^2z$ en $(1,2)$.

d)

Obtener el polinomio de Taylor de grado 2 en torno a $(1,2)$ y aproximar $f(0.9, 2.2)$.

La demanda viene dada por $Q(p_1, p_2)$ con $Q'_{p_1} = -\frac{1}{2p_1}\ln(p_2)$ y $Q'_{p_2} = -\frac{p_1}{p_2}$. Los precios dependen de los factores según $p_1 = \ln(LK^{-1})$ y $p_2 = LK$:

a)

Determinar el carácter de los bienes (sustitutivos, complementarios o independientes):

b)

Calcular $\frac{\partial Q}{\partial L}$ y $\frac{\partial Q}{\partial K}$ para $L = 2/e$, $K = 1/2$.

c)

Calcular las elasticidades respecto a los factores (expresión en función de $Q$, $L$, $K$ y las derivadas):

d)

Aproximación lineal de la demanda en el entorno de dicho punto $(L_0, K_0)$:

Ejercicio 57. Homogeneidad de demanda y de producción

Dada una función de demanda con $Q'_{p_1} = p_2 e^{p_1}$ y $Q'_{p_2} = \frac{1}{2p_2} e^{p_1}$, siendo $p_1 = \ln(LK)$ y $p_2 = L^3 K^3$:

a)

Estudiar la relación entre los bienes y la homogeneidad de la demanda.

b)

Si $Q(p_1, p_2) = Q(K, L)$, ¿es homogénea la función de producción?

c)

Si $L = K = 2$ y $Q = 2$, ¿cómo afecta a $Q$ un aumento del 2% en $L$ con $K$ constante?

d)

Proporcionar una aproximación lineal de la demanda en $(L, K) = (2,2)$.

Ejercicio 58. Curvas de nivel y Taylor de e^(x-y)

Sea $z = e^{x-y}$:

a)

Representar las curvas de nivel $z = K$ ($K > 0$). Hallar dos puntos para $K = 2$.

b)

Polinomio de grado 2 en torno al origen y aproximar el valor para $x = 0.2, y = 0.5$.

c)

Calcular el valor real y el error cometido.

Ejercicio 59. Derivadas, diferenciabilidad y Taylor de xy/(x+y)

Dada $f(x,y) = \frac{xy}{x+y}$ si $x+y \neq 0$ y $f(x,y) = 0$ si $x+y = 0$:

a)

Obtener $f'_x$ y $f'_y$. ¿Es derivable en todo punto?

b)

Estudiar la diferenciabilidad de $f$.

c)

Expresión aproximada de segundo orden en las proximidades de $(2,1)$.

Ejercicio 60. Derivadas parciales y cruzadas de x^3 y^2/(x^2+y^2)

Dada $f(x,y) = \frac{x^3 y^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y) \neq (0,0)$ y $f(0,0) = 0$:

a)

Obtener las derivadas parciales. ¿Es diferenciable en todo punto?

b)

Obtener el polinomio aproximador en las proximidades de $(1,1)$.

c)

Calcular la derivada cruzada $f''_{xy}(0,0)$.

Ejercicio 61. Expresión de curva de indiferencia

La expresión de la curva de indiferencia de $u(x, y) = ((x + 1)y)^3$ para una utilidad $u = 125$ es:

Determinar si es verdadero o falso: «Si $U(x, y) = xy$ ($x, y > 0$) representa una función de utilidad, las curvas de indiferencia como funciones $y(x)$ son decrecientes y convexas».

Verdadero

Falso

El desarrollo de Taylor de orden 2 de $f(x, y) = e^{x^2 y^2}$ en un entorno de $(0,1)$ es:

El polinomio de Taylor de grado 2 de $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2 + 1)$ en el entorno de $(0,0)$ es:

Dada $f(x, y) = 3y^2 e^{2x^2 y^2}$, obtener su desarrollo de Taylor hasta el orden 2 en $(1,1)$ y utilizarlo para estimar $f(0.9, 1.1)$.

Ejercicio 66. Taylor de orden 2 de x^2+xy+y^2-ln y

Dada la función $f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - \ln y$, calcular su desarrollo de Taylor de orden 2 en $(-1,1)$ y aproximar $f(-1.1, 0.9)$.

a)

b)

Ejercicio 67. Diferenciabilidad y aproximación cuadrática

Dada $f(x, y) = (x^2 + 3y^2)e^{2(x^2+y^2)}$:

a.

Calcular el dominio y estudiar la diferenciabilidad en $\mathbb{R}^2$.

b.

Aproximar $f(0.9, 1.1)$ mediante el polinomio de Taylor de orden 2 centrado en $(1,1)$.

Ejercicio 68. Clasificación de extremos mediante Taylor

Determinar si es verdadero o falso: «Sea el desarrollo de Taylor en $(2,3)$:

$$f(x, y) = 3 + 2(x - 2) + (x - 2)^2 + 3(y - 3)^2 + 2(x - 2)(y - 3) + \dots$$ Entonces la función $g(x, y) = f(x, y) - 2(x - 2)$ tiene un mínimo relativo en $(2,3)$».

Verdadero

Falso

Ejercicio 69. Polinomio de Taylor de demanda cuadrática

Sea $Q(p) = \frac{125}{p^2}$ la demanda de un bien:

a)

Aproximar la demanda mediante un polinomio de Taylor de segundo grado para valores cercanos a $p = 5$.

b)

Calcular aproximadamente la variación de la demanda si el precio pasa de 5 a 5,1 u.m.

Ejercicio 70. Demandas marginales implícitas y homogeneidad

Sea $D = D(p,q)$ dada implícitamente por $7 = f\left(\frac{Dq}{p}\right) - p^2$, con $f'(u) \neq 0$:

a)

Calcular las demandas marginales $\frac{\partial D}{\partial p}$ y $\frac{\partial D}{\partial q}$.

b)

¿Es $D$ homogénea? Si $p$ y $q$ aumentan simultáneamente en un 20%, ¿qué le ocurre a la demanda?

Ejercicio 71. Derivadas de función compuesta homogénea

Sea $Q(K,L) = F(u)$ donde $F$ es homogénea de grado 3 y $u = K^2 + L^2$. Si $Q'_K(1,1) = 2$, entonces:

Ejercicio 72. Grado de homogeneidad de derivada cruzada

Si $f(x,y)$ es suficientemente diferenciable y homogénea de grado 3, su derivada segunda cruzada $f''_{xy}$ debe ser una función homogénea de grado 1. ¿Cuál de las siguientes podría serlo?

Ejercicio 73. Función implícita y aproximación de Taylor

Dada $f(x, y) = (x^2 + 3y^2)e^{2(x^2+y^2)}$:

a.

Calcular su dominio y estudiar su diferenciabilidad en $\mathbb{R}^2$.

b.

¿Define la curva de nivel $f(x, y) = 4$ a $y$ como función implícita de $x$ en un entorno de $(1,1)$? Hallar $y'(1)$.

c.

Aproximar $f(0.9, 1.1)$ con Taylor de orden 2.

d.

Si $x = 2 - e^{-t}$, $y = 1 + \ln(t + 1)$, calcular $\left.\frac{df}{dt}\right|_{t=0}$.

Ejercicio 74. Diferenciabilidad y aproximación de Taylor

Estudiar la diferenciabilidad de $f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - \ln y$ en su dominio y aproximar $f(-1.1, 0.9)$ con Taylor de orden 2 centrado en $(-1,1)$.

a)

b)

Ejercicio 75. Continuidad y desarrollo de Taylor

Dada $f(x,y) = \frac{x}{y}$ si $x, y \neq 0$ y $f(x,y) = 0$ en otro caso:

a)

Estudiar la continuidad y diferenciabilidad en el origen y en $(1,1)$.

b)

Ejercicio 76. Taylor de segundo orden para función de utilidad

Sea $u(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$ la utilidad de un consumidor. Obtener su desarrollo de Taylor de orden 2 en $(e/3, 2e/3)$ y estimar el cambio si $x$ aumenta un 10% e $y$ disminuye un 5%.

a)

b)

Ejercicio 77. Aproximación cuadrática del consumo

Sea $u(x, y) = (x + 2)^2(y + 3)^2$. Si consume actualmente $x = 3$ e $y = 3$, estimar la utilidad resultante con un polinomio de Taylor de orden 2 si $x$ aumenta un 10% e $y$ disminuye un 5%.

Ejercicio 78. Pendiente de la recta tangente a curva de nivel

Sea $C$ la curva de nivel que pasa por $(1,1)$ de la función $z = x^2 + y^2$. La pendiente de la recta tangente $y'(x)$ en dicho punto es:

Ejercicio 79. Estimación lineal de la producción

Una empresa tiene productividades marginales $Q'_x = 50\frac{y^3}{x}$ y $Q'_y = 150xy$. Si $Q(1,1) = 100$, el valor aproximado de $Q(1.1,0.9)$ es:

Ejercicio 80. Productividades marginales, elasticidad y diferencial

Se dan $Q'_x(x,y) = (2y^2 + 4x^3y)e^{x^2y^2}$ y $Q'_y(x,y) = (2x^2y + 2x^4)e^{x^2y^2}$:

a.

Calcular $Q'_x(3,6)$ e interpretar el resultado y su elasticidad si $\varepsilon_{Q|x}(3,6) = 8$.

b.

Comparar pasar a $(3.1, 6.1)$ frente a $(3.1, 5.9)$ para determinar cuál opción es más conveniente.

c.

Determinar si $Q'_x$ es diferenciable.

d.

Clasificar los factores cuando $y^2 > 2x^4$.

Ejercicio 81. Variación aproximada de producción industrial

La producción diaria es $Q = 60 K^{1/2} L^{1/3}$, con $K$ en miles de euros y $L$ en horas de trabajo. Actualmente $K = 900$ ($900.000$ €) y $L = 1000$ horas:

a)

Estimar la variación de $Q$ si $K$ aumenta en $1.000$ € ($\Delta K = 1$) y se reducen $2$ horas de trabajo ($\Delta L = -2$):

unidades

b)

Si sólo se consideran las productividades marginales, ¿qué factor conviene contratar?

c)

¿Aumentan las horas trabajadas la productividad marginal del capital?

Sí

No

d)

Aproximar el nivel de producción para $K = 902$ y $L = 1010$ mediante diferencial:

unidades

Ejercicio 82. Función de utilidad CES y tasa marginal de sustitución

Sea $U(C,T) = \frac{1}{1-\sigma} (C T^\theta)^{1-\sigma}$ con $\sigma > 1$ y $\theta > 0$:

a)

¿Cómo se afecta la utilidad si se duplican el consumo y el tiempo de ocio?

b)

Si $\sigma = 4$, ¿qué valor de $\theta$ hace que la utilidad se multiplique por 4 al duplicar ambos bienes?

c)

Estudiar el carácter creciente o decreciente de la utilidad marginal del ocio. ¿Qué derivada parcial de segundo orden se analiza para determinarlo?

d)

Calcular la relación de sustitución $\left.\frac{\partial C}{\partial T}\right|_{U=\text{cte}}$.

Ejercicio 83. Derivabilidad parcial en el origen

Determinar si es verdadero o falso: «La función $f(x,y) = x+y$ si $x=0$ o $y=0$, y $f(x,y) = 1$ en otro caso, es derivable respecto a $x$ y respecto a $y$ en el origen».

Verdadero

Falso

Dada $f(x, y) = \frac{x}{y}$ si $(x, y) \neq (0,0)$ (con $y \neq 0$) y $f(0,0) = 1$, determinar si es derivable parcialmente respecto a $y$ en el origen.

Ejercicio 85. Estimación del beneficio por aproximación de Taylor

Una empresa tiene un beneficio $B(4,5) = 40$ millones de euros, con beneficios marginales $B'_{x_1}(4,5) = 25$, $B'_{x_2}(4,5) = 20$, y derivadas segundas $B''_{x_1 x_2}(4,5) = 5$, $B''_{x_1 x_1}(4,5) = B''_{x_2 x_2}(4,5) = 0$. La variación aproximada del beneficio al emplear una unidad adicional de cada factor ($\Delta x_1 = 1, \Delta x_2 = 1$) es: