Práctica de MATLAB: Polinomios y Cálculo Simbólico

1. Vectores y operaciones básicas con polinomios

En MATLAB, los vectores se definen delimitando sus elementos entre corchetes y separándolos por espacios o comas. Sus índices comienzan en 1. Además, un vector numérico de longitud $n+1$ representa algebraicamente a un polinomio de grado $n$ en potencias decrecientes de la indeterminada.

a)

Defina el vector fila $v = [77, 69, 11, 88]$ y extraiga tanto su segundo elemento como la subsecuencia formada por las posiciones 2 y 3.

b)

Represente el polinomio $P(s) = s^3 + 2s^2 + 3s + 4$ mediante un vector y determine analíticamente sus raíces en MATLAB. Compruebe también la función inversa poly reconstruyendo un polinomio mónico cuyas raíces sean -1 y -2.

c)

Calcule los ceros de la ecuación cuadrática $3s^2 + 2 = 0$ teniendo en cuenta los coeficientes intermedios nulos.

d)

Realice la multiplicación de polinomios mediante la función conv para los siguientes casos:

1. $(s + 2)(s + 5)$

2. $(s^3 + 4s^2 + s + 1)(s^5 + 4s^3 + 7s^2 + 9s + 1)$

2. Variables simbólicas, manipulación algebraica y resolución

El motor simbólico de MATLAB permite tratar incógnitas de forma analítica antes de asignarles valores numéricos específicos.

a.

Indique cómo declarar una variable simbólica $T$ en el espacio de trabajo.

b.

Defina simbólicamente las expresiones $p_{10} = 3T^2 + 5T + 3$ y $p_9 = T(T + 2)$, multiplíquelas almacenando el resultado en $p_{11}$ y expanda dicho producto algebraicamente.

c.

Aplique el comando solve a la expresión $p_{11}$ para hallar analíticamente sus raíces.

d.

Consulte la siguiente tabla de funciones de manipulación simbólica con la acción y sintaxis de cada una:

Comando · Descripción de la función · Ejemplo de sintaxis

expand(S) · Multiplica y expande todos los términos · expand((x-5)*(x+5))

factor(S) · Factoriza la expresión algebraica · factor(x^3-1)

collect(S) · Agrupa términos del mismo grado · collect(2*(x+3)^2+x^2+6*x+9)

simplify(S) · Aplica reglas de simplificación matemática · simplify(exp(log(a)))

simple(S) · Busca la forma más compacta posible · simple(sin(x)^2+cos(x)^2)

numden(S) · Extrae numerador y denominador de una expresión racional · [num, den] = numden((x-5)/(x+5))

3. Ejercicio. Descomposición en fracciones parciales con polos simples

Utilice la función residue de MATLAB para descomponer en fracciones simples la siguiente función racional:

$$F(s) = \frac{s^2 + 7s + 2}{s^3 + 9s^2 + 7s + 4}$$

Escriba las órdenes necesarias y reconstruya la expresión analítica a partir del vector de residuos $n$ y del vector de polos $r$ calculados.

4. Ejemplo 2. Fracciones parciales con polos múltiples

Dada la función de transferencia racional con un polo múltiple:

$$G(s) = \frac{1}{s^3 + 3s^2 + 3s + 1}$$

Determine mediante el comando residue los residuos y polos asociados, y formule su desarrollo analítico en fracciones simples.

5. Ejemplo 3. División polinómica mediante deconv

Efectúe la división algebraica entre los polinomios que componen la siguiente fracción impropia:

$$H(s) = \frac{s^4 + 10s^3 + 27s^2 + 44s + 14}{s + 7}$$

Indique las instrucciones a ejecutar en MATLAB y la interpretación del vector obtenido.

Ejercicio 4. Resolución matricial de un sistema lineal

Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas:

$$\begin{cases} 3x + 6y + 9z = 0 \\ -x + 4y - 2z = -3 \\ 6x - 4y + z = 13 \end{cases}$$

a)

Plantee el sistema en notación matricial $A \cdot X = B$ y defina las matrices $A$ y $B$ en MATLAB:

b)

Resuelva el sistema mediante la inversión matricial $X = A^{-1} \cdot B$ y muestre los valores numéricos de $x, y, z$.

Valores numéricos de las incógnitas:

c)

Verifique analíticamente la validez de la solución sustituyendo las respuestas en las tres ecuaciones iniciales.

Ejercicio 5. Integración simbólica indefinida

Se desea calcular de forma analítica la integral indefinida del siguiente polinomio respecto de la variable temporal $T$:

$$p_{81}(T) = 3T^2 + 7T + 2$$

a)

Indique las instrucciones en MATLAB para definir la variable, la función e integrar mediante int:

b)

Muestre la forma factorizada que devuelve el software:

Indique la función o instrucción adecuada para presentar la solución como un polinomio expandido:

Expresión del polinomio expandido resultante:

Ejercicio 6. Derivación simbólica

Efectúe la derivada temporal del polinomio:

$$\frac{d}{dT}(3T^2 + 7T + 2)$$

Indique el código de MATLAB requerido mediante la función diff:

Indique el resultado analítico obtenido:

Ejemplo 7. Ecuación diferencial homogénea de segundo orden

Resuelva simbólicamente en MATLAB la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes:

$$y'' + 6y' + 12y = 0$$

a)

Escriba la instrucción de dsolve requerida para resolver la ecuación:

b)

Indique la salida en notación matemática formal $y(t)$:

Ejercicio 8. Ecuación diferencial no lineal con condición inicial y gráfica

Se desea resolver analíticamente la ecuación diferencial no lineal sujeta a un valor inicial y graficar su trayectoria:

$$y' = -3xy^2, \quad y(0) = 5$$

Considere el intervalo de estudio $x \in [-2, 3]$ con un espaciado de muestra $\Delta x = 0.05$.

a.

b.

Ejercicio 9. Ecuación diferencial lineal de primer orden

Resuelva analíticamente la siguiente ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden no homogénea:

$$\frac{dy}{dx} = 2y + \cos(x)$$

Transformada directa e inversa de Laplace

El comando laplace calcula la transformada directa en el dominio de Laplace, mientras que ilaplace efectúa la recuperación temporal.

a.

Obtenga la transformada de Laplace de la expresión polinómica $p_{81}(t) = 3t^2 + 7t + 2$.

b.

Aplique la transformada inversa de Laplace sobre el resultado anterior para verificar que se recupera el polinomio temporal original.