Problemas de integrales dobles en coordenadas cartesianas

Ejercicio 45. Integrales dobles en coordenadas cartesianas

Calcular, empleando coordenadas cartesianas, el valor de las siguientes integrales dobles sobre los recintos $D$ dados:

a)

$\iint_D dx\,dy$ siendo $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 \le x \le \frac{1}{2},\ y+x \le 1,\ y \ge 0\}$.

b)

$\iint_D x^3 y\,dx\,dy$ sobre el mismo recinto $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid 0 \le x \le \frac{1}{2},\ y+x \le 1,\ y \ge 0\}$.

c)

$\iint_D \frac{x}{y}\,dx\,dy$ donde el dominio es $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy \le 16,\ x \ge y,\ x-6 \le y,\ x \ge 0,\ y \ge 1\}$.

d)

$\iint_D x y e^{-y^2}\,dx\,dy$ con $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid 1 \le x \le 2,\ y \ge 0,\ y^2 \le x\}$.

e)

$\iint_D (2x-1)e^{x^2+y}\,dx\,dy$ siendo $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x+y \ge 1,\ x \ge \frac{1}{2},\ y+x^2 \le 1\}$.

f)

$\iint_D y\,dx\,dy$ siendo $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \ge 0,\ (x-1)^2+y^2 \le 1,\ (x-2)^2+y^2 \le 1\}$.