Hoja de problemas 1. Funciones y cálculo diferencial

Ejercicio 1. Resolución de inecuaciones e intervalos

Halle el conjunto de números reales que satisface cada una de las siguientes condiciones o inecuaciones, expresando la solución en forma de intervalo o unión de intervalos:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

Ejercicio 2. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Resuelva las siguientes ecuaciones para la variable real $x$:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

Ejercicio 3. Propiedades y representación gráfica

Considere la función cuya gráfica se muestra a continuación:

Determine las siguientes propiedades de dicha función:

a.

b.

c.

d.

Ejercicio 4. Evaluación algebraica de una función

Dada la función racional $f(x) = \frac{x-1}{x^2+2}$, evalúe las siguientes expresiones simplificando el resultado:

a)

b)

c)

d)

Ejercicio 6. Composición de funciones

Dadas las funciones elementales $f(x) = x^2$ y $g(x) = e^x$, calcule las composiciones:

a)

b)

Ejercicio 7. Cálculo de límites

Calcule los valores de los siguientes doce límites:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

Ejercicio 8. Monotonía mediante la derivada

Analice el crecimiento y decrecimiento de una función derivable cuya función derivada viene dada por $f'(x) = 5x^4 + 20$, indicando qué se deduce sobre la monotonía global de $f$ en la recta real.

Ejercicio 10. Rectas tangente y normal

Para una función $y = f(x)$ que pasa por el punto $(2, 4)$ con pendiente de la tangente $m = 4$, escriba en forma punto-pendiente las ecuaciones de:

a.

b.

Ejercicio 11. Derivación de funciones compuestas

Calcule la primera derivada respecto a la variable independiente de las siguientes funciones:

a.

$y_1 = 2\operatorname{tg} x$

$y_1' =$

b.

$y_2 = \operatorname{tg} 2x$

$y_2' =$

c.

$y_3 = \operatorname{tg}^2 x$

$y_3' =$

d.

$y_4 = \operatorname{tg}(x^2)$

$y_4' =$

e.

$y_5 = \operatorname{tg}(2^x)$

$y_5' =$

f.

$z = \frac{1}{2}\operatorname{tg} 2x$

$z' =$

g.

$y = \left(\frac{x+1}{x}\right)^{1/x}$

Ejercicio 12. Derivadas de orden superior

Dada una función $y$ cuya derivada primera es $y' = -4x\operatorname{sen}(x^2)\cos(x^2)$:

a.

$y' =$

b.

$y''(\sqrt{\pi}) =$

Ejercicio 13. Cuestiones teóricas de cálculo I

Indique razonadamente si cada una de las siguientes cinco afirmaciones es verdadera o falsa:

a.

Proposición a

b.

Proposición b

c.

Proposición c

d.

Proposición d

e.

Proposición e

Ejercicio 14. Cuestiones teóricas de cálculo II

Determine la veracidad o falsedad de las siguientes nueve proposiciones sobre límites y funciones:

Ejercicio 15. Continuidad y gráfica a trozos

A partir de la función lineal a trozos cuya representación gráfica se detalla a continuación, determine los puntos de discontinuidad que presenta:

$x =$

Ejercicio 16. Acotación y extremos en intervalos

Considere la gráfica de la siguiente función:

Estudie el comportamiento de la función en la semirrecta $(-\infty, 0]$, precisando su acotación, su valor máximo y su valor mínimo en dicho intervalo.

a)

b)

c)