Problema 1 · Álgebra UDL 2015

a. Demostreu que R és antisimètrica.

Solución: Siguin $a = (a_1, \dots, a_n)$ i $b = (b_1, \dots, b_n)$ tals que $a R b$ i $b R a$. Per a cada índex parell $i$, per definició $a_i = b_i$. Per a cada índex senar $i$, tenim $a_i \le b_i$ i $b_i \le a_i$, la qual cosa implica $a_i = b_i$. Com que totes les components coincideixen, $a = b$.

b. Determineu si es tracta d'una relació d'ordre total o d'ordre parcial: Tipus d'ordre per a n = 1

Solución: ordre total

b. Determineu si es tracta d'una relació d'ordre total o d'ordre parcial: Tipus d'ordre per a n >= 2

Solución: ordre parcial

b. Justificació per a n = 1 i n >= 2

Solución: Per a n = 1 la relació coincideix amb l'ordre usual sobre {0,1,2}, que és total. Per a n >= 2, dos elements amb diferent component d'índex parell (com (0,1) i (0,2)) no són comparables en cap sentit.

c. Determineu el conjunt B = {(a_1, a_2, a_3) in A_3 : (a_1, a_2, a_3) R (1, 0, 2)}.

Solución: {(0,0,0), (0,0,1), (0,0,2), (1,0,0), (1,0,1), (1,0,2)}

d. Determineu els elements minimals de A_3.

Solución: {(0,0,0), (0,1,0), (0,2,0)}

e. Doneu el diagrama de Hasse de S

Solución: El diagrama de Hasse té (1,0,0) connectat cap amunt a (2,0,0), i aquest connectat cap amunt a (2,0,1). A més, (0,0,1) està connectat directament cap amunt a (2,0,1). Els elements (0,0,1) i (1,0,0) estan al nivell inferior.

e. Elements minimals de S:

Solución: {(0,0,1), (1,0,0)}

e. Elements maximals de S:

Solución: {(2,0,1)}

e. Mínim de S:

Solución: no en té

e. Màxim de S:

Solución: (2,0,1)

e. Cotes inferiors (dins de A_3):

Solución: {(0,0,0)}

e. Cotes superiors (dins de A_3):

Solución: {(2,0,1), (2,0,2)}