Problema 1 - Relacions binàries i d'equivalència · Álgebra UDL 2017

Sigui el conjunt $A = \{(a_1, a_2, a_3, a_4): a_i \in \{0, 1\}\}$. En aquest conjunt es defineixen dues relacions, $R_1$ d'equivalència i $R_2$ d'ordre:

$$(a_1, a_2, a_3, a_4) R_1 (b_1, b_2, b_3, b_4) \iff \sum_{i=1}^4 a_i = \sum_{i=1}^4 b_i$$

$$(a_1, a_2, a_3, a_4) R_2 (b_1, b_2, b_3, b_4) \iff a_i \le b_i, \quad \forall i \in \{1, 2, 3, 4\}$$

a.

Trobeu tots els elements $(a_1, a_2, a_3, a_4) \in A$ tals que $(a_1, a_2, a_3, a_4) R_1 (0, 1, 0, 1)$ i $(a_1, a_2, a_3, a_4) R_2 (0, 1, 0, 1)$. [0,3 punts]

b.

Doneu la classe d'equivalència de $(1, 1, 0, 0)$ per la relació $R_1$. [0,3 punts]

c.

Determineu totes les classes d'equivalència de $R_1$ i el conjunt quocient $A / R_1$. [0,4 punts]

f.

En el mateix conjunt $A$ es defineix la relació $R_3$ mitjançant:

$$a R_3 b \iff \exists c \in A \text{ tal que } a R_1 c \text{ i } c R_2 b$$

on $a = (a_1, a_2, a_3, a_4)$, $b = (b_1, b_2, b_3, b_4)$ i $c = (c_1, c_2, c_3, c_4)$. Determineu si $R_3$ és o no una relació simètrica. [0,3 punts]