Examen de Matemáticas Empresariales UDL 2014 · Prova d'Avaluació Continuada 3 (Febrer 2014)

Pregunta 1 [3 punts]. Discussió de sistema lineal amb paràmetre

Estudieu i discutiu el caràcter del següent sistema d'equacions lineals en funció dels valors que prengui el paràmetre real $a$:

$$\begin{cases} x - 2y + z = -2 \\ -x + y + az = 1 \\ -x + 3y - 2(a + 1)z = a + 3 \\ 2x + ay + 4z = -2 \end{cases}$$

a)

$a_1 =$

$a_2 =$

b)

Classifiqueu el tipus de sistema segons el Teorema de Rouché-Frobenius per a cada cas:

Pregunta 2 (3 punts). Problema d'aplicació d'autobusos

Una companyia de transports disposa d'autobusos de tres capacitats diferents: 60, 40 i 20 places. El total de passatgers que atén diàriament és de 600. La normativa legal exigeix disposar d'una plaça d'aparcament reservada per a cadascun dels vehicles en propietat per tal d'estacionar-los fora de servei. L'empresa compta exactament amb 20 places d'aparcament i ha de determinar quants autobusos de cada capacitat ha de tenir per cobrir la demanda i complir la normativa.

a)

Plantegeu el sistema d'equacions lineals (SEL) que permet determinar el nombre d'autobusos de cada tipus, anomenant $x$ el nombre d'autobusos de 60 places, $y$ els de 40 places i $z$ els de 20 places:

Equació de passatgers:

Equació d'aparcament:

b)

Discutiu el SEL indicant el seu tipus segons les solucions:

c)

Determineu les opcions de solucions enteres no negatives i responeu a les preguntes següents:

Pregunta 3 (4 punts). Model input-output de Leontief

En una economia formada per dos sectors (sector agrícola i sector serveis) es coneix que per a una producció de 3600 unitats del sector agrícola i 6400 unitats del sector serveis:

600 unitats agrícoles es destinen al mateix sector agrícola i 1800 unitats es destinen al sector serveis.

De la producció del sector serveis, es destinen 2400 unitats al sector agrícola i 3000 unitats al mateix sector serveis.

Responeu a les següents qüestions:

a)

Amb aquests nivells de producció, quina demanda final es podrà satisfer?

b)

Calculeu la matriu tecnològica d'aquesta economia $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$:

$a_{11}$:

$a_{12}$:

$a_{21}$:

$a_{22}$:

c)

Calculeu la matriu inversa de Leontief $(I-A)^{-1} = \begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix}$:

$m_{11}$:

$m_{12}$:

$m_{21}$:

$m_{22}$:

d)

Quin nivell de producció caldria per atendre una demanda final de 900 unitats del sector agrícola i 2700 unitats del sector serveis?