Exercici 2 · Matemàtiques I i II UAB Examen Segon Parcial de Matemàtiques I

Polinomi característic $P(\lambda)$

Solución: $-\lambda^3 + \lambda^2 + 4\lambda - 4$ / $-(\lambda - 1)(\lambda - 2)(\lambda + 2)$

Valors propis de la matriu $A$

Solución: $1$, $2$, $-2$

Justifiqueu per què és una matriu diagonalitzable.

Solución: Com que hem obtingut tres valors propis reals i diferents per a una matriu d'ordre 3, cadascun aporta un vector propi linealment independent. Així doncs, la matriu A és diagonalitzable.

b. Determineu els vectors propis associats a cadascun dels valors propis i escriviu una base de vectors propis i la corresponent matriu de pas $C$.

Solución: $\mathbf{v}_1 = (-1, 1, 2)$, $\mathbf{v}_2 = (1, 1, 1)$, $\mathbf{v}_3 = (1, -1, 1)$; $\mathcal{B} = \{(-1, 1, 2), (1, 1, 1), (1, -1, 1)\}$; $C = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$