Examen de Estadística I UAB 2014 · Juny

Exercici 1 (2 punts). Anàlisi bidimensional de pneumàtics

Una fàbrica produeix pneumàtics que es classifiquen segons dues amplades (155 i 185 mm) i dues mides de diàmetre de llanda (14 o 15 polzades). En un mes es fabrica un total de 100 unitats.

Es coneix que el 75% dels pneumàtics amb llanta de 14 polzades té una amplada de 185 mm. D'altra banda, es fabriquen 20 pneumàtics que tenen 15 polzades de diàmetre i 155 mm d'amplada, i la quantitat total de pneumàtics de 15 polzades elaborats al mes és de 60 unitats.

a.

Deduïu la taula de contingència completa amb les freqüències absolutes conjuntes i marginals per a ambdues variables:

$X \setminus Y$ · 14 · 15 · $n_X$

155

185

$n_Y$ · · · 100

b.

Quins pneumàtics tenen una amplada mitjana superior: els de 14 polzades o els de 15 polzades?

A

Els de 14 polzades

B

Els de 15 polzades

c.

%

d.

Exercici 2 (2 punts). Probabilitat i aficionats a la final

A una ciutat, la totalitat dels seguidors de futbol es divideix exclusivament entre dos equips: l'equip A agrupa el 60% de l'afició i l'equip B el 40% restant. Ambdós clubs han assolit la Gran Final, que té lloc fora de la seva localitat. D'acord amb els registres oficials, el 74% de tots els aficionats de la ciutat té intenció de viatjar per assistir a l'esdeveniment.

a.

Si els directius de l'equip A assenyalen que el 70% dels seus seguidors ha obtingut entrades i es desplaçarà, determineu quina proporció d'aficionats de l'equip B té previst anar a la final.

b.

Si s'entrevista a l'atzar un aficionat que s'ha desplaçat a veure el partit, quina és la probabilitat que doni suport a l'equip A?

Exercici 3 (2,5 punts). Fiabilitat de satèl·lits de comunicacions

Un model de satèl·lit de comunicacions funciona gràcies a 4 panells solars. La unitat pot continuar operant si té operatius un mínim de dos panells; per contra, si en fallen més de dos, el satèl·lit es descontrola i acaba caient a la Terra. Al llarg dels 20 anys de vida estimada del satèl·lit, la probabilitat que qualsevol dels panells solars s'avariï és de 0,09 (assumint independència entre ells).

a.

Quina probabilitat hi ha que un d'aquests satèl·lits acabi caient a la Terra durant el seu cicle de servei de 20 anys?

b.

Si es disposa d'una flota espacial de 10.000 satèl·lits d'aquest tipus, quantes unitats s'espera que caiguin durant els seus 20 anys d'activitat?

c.

Fent servir la mitjana d'aquestes caigudes per a un interval de 20 anys, calculeu la probabilitat que caigui almenys un satèl·lit durant el pròxim any.

Exercici 4 (3,5 punts). Distribució de la despesa en facturació elèctrica

L'import bimensual de la factura elèctrica d'una llar segueix una distribució Normal amb mitjana de 150 euros. A més a més, se sap que en el 84,1% dels rebuts, l'import se situa per sota dels 170 euros.

a.

Trobeu la variància d'aquesta distribució.

b.

Quina és la probabilitat que en un període bimensual la factura sigui superior als 190 euros?

c.

Es considera un import «extraordinàriament atípic» quan supera la mitjana en més de 3 vegades la desviació típica. Quina és la probabilitat d'obtenir una factura atípica d'aquestes característiques?