Exercício 8 · Exame Nacional Matemática B 1.ª fase 2024

8. Considere uma espiral constituída por $100$ semicircunferãncias de diâmetros $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, e assim sucessivamente, tendo cada semicircunferãncia, a partir da segunda, mais $1$ unidade de diâmetro do que a semicircunferãncia anterior, como se representa na Figura 8.

Considere a sequãncia crescente dos comprimentos das semicircunferãncias.

Os termos desta sequãncia são termos consecutivos de uma progressão aritmética.

Note que o comprimento de uma semicircunferãncia é igual a metade do perímetro de um círculo com o mesmo raio.

8.1.

Mostre que a razão dessa progressão aritmética é $\frac{\pi}{2}$.

8.2.

Mostre que o comprimento total da espiral constituída pelas $100$ semicircunferãncias é $2525\pi$.