Exercício 3 - Funções polinomiais e modelação · Exame Nacional Matemática B 1.ª fase 2026

Duas povoações, $E$ e $F$, estão a igual distância de uma fonte de abastecimento de água, localizada em $J$.

Pretende-se construir uma canalização com uma bifurcação, ligando a fonte às duas povoações, como se representa na Figura 1.

A canalização é formada por três canos retilíneos: um que vai da fonte localizada em $J$ até à bifurcação localizada em $P$, e dois que partem de $P$, um para $E$ e o outro para $F$. O ponto $P$ está a igual distância de $E$ e de $F$.

O ponto $M$, ponto médio de $[EF]$, dista $5\text{ km}$ de $J$.

Seja $\overline{PM} = x\text{ km}$.

O comprimento total da canalização, $g(x)$, em $\text{km}$, é dado, em função de $x$, por

$$g(x) = 2\sqrt{16 + x^2} + 5 - x, \quad \text{com } 0 \le x < 5$$

3.1.

Qual dos seguintes valores é o comprimento total mínimo, arredondado às décimas, que a canalização pode ter, de acordo com a função $g$?

()

3.3.

Admita, agora, que os três canos que constituem a canalização têm o mesmo comprimento.

Determine o comprimento total da canalização.

Apresente o valor pedido em $\text{km}$.