Exercice 1 - Partie A · Bac Mathématiques Polynésie 2023 (jour 2)

Exercice 1 (5 points) Thèmes: probabilités, suites

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Partie A

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d'entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que:

si l'athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans 90 % des cas le jour suivant;

si l'athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans 70 % des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.

On note pour tout entier naturel $n$:

$R_n$ l'événement: « L'athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance »,

$p_n$ la probabilité de l'événement $R_n$. On considère que $p_0 = 0{,}6$.

Partie A

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie en fin d'entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que:

si l'athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans 90 % des cas le jour suivant;

si l'athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans 70 % des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.

On note pour tout entier naturel $n$:

$R_n$ l'événement: « L'athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance »,

$p_n$ la probabilité de l'événement $R_n$. On considère que $p_0 = 0{,}6$.

1.

Soit $n$ un entier naturel, recopier l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

2.

Justifier en vous aidant de l'arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a: $$p_{n+1} = 0{,}6 p_n + 0{,}3.$$

3.

On considère la suite $(u_n)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = p_n - 0{,}75$.

a.

Démontrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

b.

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$: $p_n = 0{,}75 - 0{,}15 \times 0{,}6^n$.

c.

En déduire que la suite $(p_n)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.

d.

Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l'exercice.