Exercice 2 - Probabilités conditionnelles · Bac Mathématiques Polynésie 2022 (jour 1)

Selon les autorités sanitaires d'un pays, 7 % des habitants sont infectés par une certaine maladie.

Dans ce pays, un test est mis au point pour détecter cette maladie. Ce test a les caractéristiques suivantes:

pour les individus malades, le test donne un résultat négatif dans 20 % des cas;

pour les individus sains, le test donne un résultat positif dans 1 % des cas.

Une personne est choisie au hasard dans la population et testée.

On considère les événements suivants:

$M$: « la personne est malade »;

$T$: « le test est positif ».

1.

Calculer la probabilité de l'événement $M \cap T$. On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.

2.

Démontrer que la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif, est de 0,0653.

3.

Dans un contexte de dépistage de la maladie, est-il plus pertinent de connaître $P_M(T)$ ou $P_T(M)$ ?

$P_T(M)$

$P_M(T)$

4.

On considère dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif. Quelle est la probabilité qu'elle soit malade ? On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.