Exercice 2 - Limites et asymptotes · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2023 (jour 2)

Thème : Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires · Tiré du sujet Jour 2 (2023)

Énoncé

EXERCICE 2 (5 points)

On considère la fonction ff, définie sur [0  ;+∞[[0\;; +\infty[ par:

f(x)=xe−x.f(x) = x\mathrm{e}^{-x}.

On note Cf\mathcal{C}_f sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan.

On admet que ff est deux fois dérivable sur [0  ;+∞[[0\;; +\infty[.

On note f′f' sa dérivée et f′′f'' sa dérivée seconde.

1.

En remarquant que pour tout xx dans [0;+∞[[0; +\infty[, on a f(x)=xexf(x) = \frac{x}{\mathrm{e}^x}, démontrer que la courbe Cf\mathcal{C}_f possède une asymptote en +∞+\infty dont on donnera une équation.

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Corrigé

Corrigé proposé par AprenAI (non officiel)

Démontrer que la courbe Cf\mathcal{C}_f possède une asymptote en +∞+\infty

Réponse : Pour tout x>0x > 0, f(x)=xex=1exxf(x) = \frac{x}{\mathrm{e}^x} = \frac{1}{\frac{\mathrm{e}^x}{x}}. Par croissances comparées, lim⁡x→+∞exx=+∞\lim_{x \to +\infty} \frac{\mathrm{e}^x}{x} = +\infty. Par quotient, lim⁡x→+∞f(x)=0\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0.

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