Exercice 4 - Affirmation 1 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 1)

Thème : Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires · Tiré du sujet Jour 1 (2025)

Énoncé

Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

1. On considère la fonction ff définie sur l'intervalle ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ par:

f(x)=ln⁡(x)−x2.f(x) = \ln(x) - x^2.

Affirmation 1: lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.

Vraie

Fausse

Énoncé: Exercice 4 - Affirmation 1 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 1)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

Justification de l'affirmation 1

Réponse : On factorise par x2x^2 : f(x)=x2(ln⁡(x)x2−1)f(x) = x^2\left(\frac{\ln(x)}{x^2} - 1\right). Or par croissances comparées, lim⁡x→+∞ln⁡(x)x2=0\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 0, donc lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.

1. Affirmation 1 : lim⁡x→+∞f(x)=−∞\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty.

Réponse : Vraie

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