Exercice 2 - Limites et théorème des valeurs inte… · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2022 (jour 2)

Principaux domaines abordés:

Fonctions, Fonction logarithme.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par:

$$f(x) = x \ln (x) - x - 2$$

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$.

On note $f'$ sa dérivée, $f''$ sa dérivée seconde et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.

2. a.

Calculer la limite de la fonction $f$ en 0.

2. b.

Démontrer que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à $+\infty$.

3.

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.

4. a.

Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$. On note $\alpha$ cette solution.

4. b.

Justifier que le réel $\alpha$ appartient à l'intervalle $]4{,}3\,;\,4{,}4[$.

4. c.

En déduire le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$.

5.

On considère la fonction seuil suivante écrite dans le langage Python:

On rappelle que la fonction log du module math (que l'on suppose importé) désigne la fonction logarithme népérien $\ln$.

def seuil(pas):

x=4.3

while x*log(x)-x-2<0:

x=x+pas

return x

Quelle est la valeur renvoyée à l'appel de la fonction seuil(0.01) ?

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.