Exercice 1 - Géométrie dans l'espace · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 2)

Thème : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Tiré du sujet Jour 2 (2025)

Énoncé

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

On considère un cube ABCDEFGHABCDEFGH d'arête 1 et le point II défini par FI⃗=13FB⃗\vec{FI} = \frac{1}{3}\vec{FB}.

On pourra se placer dans le repère orthonormé de l'espace (A;AB⃗,AD⃗,AE⃗)(A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE}).

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.

1.

On considère le triangle HAC.

Affirmation 1: Le triangle HAC est un triangle rectangle.

2.

On considère les droites (HF) et (DI).

Affirmation 2: Les droites (HF) et (DI) sont sécantes.

3.

On considère un réel α\alpha appartenant à l'intervalle ]0;π[]0; \pi[.

On considère le vecteur u⃗\vec{u} de coordonnées (sin⁡(α)sin⁡(π−α)sin⁡(−α))\begin{pmatrix} \sin(\alpha) \\ \sin(\pi-\alpha) \\ \sin(-\alpha) \end{pmatrix}.

Affirmation 3: Le vecteur u⃗\vec{u} est un vecteur normal au plan (FAC).

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Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Affirmation 1 (Vraie ou Fausse) :

Réponse : Fausse

1. Justification pour l'affirmation 1 :

Réponse : Les trois segments [HA], [AC] et [HC] sont des diagonales de carrés de côté 1, donc HA = AC = HC = \sqrt{2}. Le triangle HAC est équilatéral, donc il n'est pas rectangle.

2. Affirmation 2 (Vraie ou Fausse) :

Réponse : Vraie

2. Justification pour l'affirmation 2 :

Réponse : Le système d'équations paramétriques admet pour unique solution t = 3/2 et s = 3/2, ce qui donne le point d'intersection de coordonnées (3/2, -1/2, 1).

3. Affirmation 3 (Vraie ou Fausse) :

Réponse : Fausse

3. Justification pour l'affirmation 3 :

Réponse : \vec{u} = \sin(\alpha)(1, 1, -1). En calculant le produit scalaire avec un vecteur du plan (FAC), par exemple \vec{FA}(-1, 0, -1) ou \vec{AC}(0, 1, -1), \vec{u} · \vec{AC} = \sin(\alpha)(0 + 1 + 1) = 2\sin(\alpha) ≠ 0 car \alpha ∈ ]0; \pi[.

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