Exercice 1 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2023 (jour 2)

EXERCICE 1 (5 points)

On considère le cube $ABCDEFGH$ d'arête $1$ représenté ci-contre.

On note $K$ le milieu du segment $[HG]$.

On se place dans le repère orthonormé $(A\,;\,\vec{AD},\,\vec{AB},\,\vec{AE})$.

1.

Justifier que les points $C$, $F$ et $K$ définissent un plan.

2.

a.

Donner, sans justifier, les longueurs $KG$, $GF$ et $GC$:

b.

Calculer l'aire du triangle $FGC$.

c.

Calculer le volume du tétraèdre $FGCK$.

On rappelle que le volume $V$ d'un tétraèdre est donné par $V = \frac{1}{3}\mathcal{B} \times h$, où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.

3.

a.

On note $\vec{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Démontrer que $\vec{n}$ est normal au plan $(CFK)$.

b.

En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(CFK)$ est: $$x + 2y + z - 3 = 0.$$

4.

On note $\Delta$ la droite passant par le point $G$ et orthogonale au plan $(CFK)$. Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est:

$$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \quad (t \in \mathbb{R}) \\ z = 1 + t \end{cases}$$

5.

Soit $L$ le point d'intersection entre la droite $\Delta$ et le plan $(CFK)$.

a.

Déterminer les coordonnées du point $L$:

b.

En déduire que $LG = \frac{\sqrt{6}}{6}$.

6.

En utilisant la question 2., déterminer la valeur exacte de l'aire du triangle $CFK$.