Exercice 3 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2022 (jour 2)

EXERCICE 3 (7 points)

Principaux domaines abordés:

Géométrie dans l'espace.

Une maison est modélisée par un parallélépipède rectangle $ABCDEFGH$ surmonté d'une pyramide $EFGHS$.

On a $DC = 6$, $DA = DH = 4$.

Soit les points $I$, $J$ et $K$ tels que $\vec{DI} = \frac{1}{6}\vec{DC}$, $\vec{DJ} = \frac{1}{4}\vec{DA}$, $\vec{DK} = \frac{1}{4}\vec{DH}$.

On note $\vec{i} = \vec{DI}$, $\vec{j} = \vec{DJ}$, $\vec{k} = \vec{DK}$.

On se place dans le repère orthonormé $(D; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

On admet que le point $S$ a pour coordonnées $(3; 2; 6)$.

1.

Donner, sans justifier, les coordonnées des points $B$, $E$, $F$ et $G$.

2.

Démontrer que le volume de la pyramide $EFGHS$ représente le septième du volume total de la maison.

On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule: $V = \frac{1}{3} \times (\text{aire de la base}) \times \text{hauteur}$.

3.

a.

Démontrer que le vecteur $\vec{n} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ est normal au plan $(EFS)$.

b.

En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(EFS)$ est $y + z - 8 = 0$.

4.

On installe une antenne sur le toit, représentée par le segment $[PQ]$.

On dispose des données suivantes:

le point $P$ appartient au plan $(EFS)$;

le point $Q$ a pour coordonnées $(2; 3; 5{,}5)$;

la droite $(PQ)$ est dirigée par le vecteur $\vec{k}$.

a.

Justifier qu'une représentation paramétrique de la droite $(PQ)$ est:

$$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \\ z = 5{,}5 + t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

b.

c.

5.

Un oiseau vole en suivant une trajectoire modélisée par la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est:

$$\begin{cases} x = -4 + 6s \\ y = 7 - 4s \\ z = 2 + 4s \end{cases} \quad (s \in \mathbb{R})$$