Exercice 2 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 1)

Thème : Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage · Tiré du sujet Jour 1 (2025)

Énoncé

Exercice 2 (4 points)

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , on considère les points $A(4; -4; 4), \quad B(5; -3; 2), \quad C(6; -2; 3) \quad \text{et} \quad D(5; 1; 1).$

Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ .

Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est: $x - y - 8 = 0$ .

On note $d$ la droite passant par le point $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$ .

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ .

On note $H$ le projeté orthogonal du point $D$ sur le plan $(ABC)$ . Déterminer les coordonnées du point $H$ .

Montrer que $DH = 2\sqrt{2}$ .

Montrer que le volume de la pyramide $ABCD$ est égal à $2$ .

On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide se calcule à l'aide de la formule: $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$ , où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base de la pyramide et $h$ la hauteur correspondante.

On admet que l'aire du triangle $BCD$ est égale à $\frac{\sqrt{42}}{2}$ .

En déduire la valeur exacte de la distance du point $A$ au plan $(BCD)$ .

Énoncé: Exercice 2 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 1)

Corrigé

Corrigé établi d’après les éléments de correction officiels

1. Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ .

Réponse : $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$ , donc le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ .

2. Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $x - y - 8 = 0$ .

Réponse : Les coordonnées des points $A$ , $B$ et $C$ vérifient l'équation $x - y - 8 = 0$ .

3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ .

Réponse : $\begin{cases} x = 5 + t \\ y = 1 - t \\ z = 1 \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

3. b. Déterminer les coordonnées du point $H$ .

Réponse : $(7; -1; 1)$

3. c. Montrer que $DH = 2\sqrt{2}$ .

Réponse : $DH = \|\vec{DH}\| = \sqrt{(7 - 5)^2 + (-1 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{4 + 4} = 2\sqrt{2}$

4. a. Montrer que le volume de la pyramide $ABCD$ est égal à $2$ .

Réponse : $V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}(ABC) \times DH = 2$

4. b. En déduire la valeur exacte de la distance du point $A$ au plan $(BCD)$ .

Réponse : $\frac{2\sqrt{42}}{7}$

L’explication pas à pas, faite avec l’IA, est réservée aux membres Premium. Premium

Résous-le ici : correction automatique, indices et corrigé détaillé.

Exercice 1 - Géométrie dans l'espace · Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 2) ›

Exercice 2 · Bac Mathématiques Nouvelle-Calédonie 2025 (jour 1)

Énoncé

Corrigé

Plus d’exercices de Géométrie dans l'espace : vecteurs, droites, plans, produit scalaire et repérage