Exercice 4 - Partie B · Bac Mathématiques Mayotte-Liban 2022 (jour 2)

EXERCICE 4 (7 points)

Principaux domaines abordés:

Fonctions, Fonction exponentielle, Fonction logarithme;

Suites.

Partie B

1.

On définit deux suites $(a_n)$ et $(b_n)$ par:

$$\begin{cases} a_0 = \frac{1}{10} \\ b_0 = 1 \end{cases} \quad \text{et, pour tout entier naturel } n, \quad \begin{cases} a_{n+1} = \mathrm{e}^{-b_n} \\ b_{n+1} = \mathrm{e}^{-a_n} \end{cases}$$

a.

Calculer $a_1$ et $b_1$. On donnera des valeurs approchées à $10^{-2}$ près.

b.

On considère ci-dessous la fonction termes, écrite en langage Python.

def termes(n):

a=1/10

b=1

for k in range(0,n):

c=...

b=...

a=c

return(a,b)

Recopier et compléter sans justifier le cadre ci-dessus de telle sorte que la fonction termes calcule les termes des suites $(a_n)$ et $(b_n)$.

2.

On rappelle que la fonction $x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ est décroissante sur $\mathbf{R}$.

a.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a:

$$0 < a_n \le a_{n+1} \le b_{n+1} \le b_n \le 1.$$

b.

En déduire que les suites $(a_n)$ et $(b_n)$ sont convergentes.

3.

On note $A$ la limite de $(a_n)$ et $B$ la limite de $(b_n)$.

On admet que $A$ et $B$ appartiennent à l'intervalle $]0; 1]$, et que $A = \mathrm{e}^{-B}$ et $B = \mathrm{e}^{-A}$.

a.

Démontrer que $f(A) = 0$.

b.

Déterminer $A - B$.