Exercice 4 - Partie A · Bac Mathématiques Mayotte-Liban 2022 (jour 2)

EXERCICE 4 (7 points)

Principaux domaines abordés:

Fonctions, Fonction exponentielle, Fonction logarithme;

Suites.

Partie A

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de $]0; 1]$ par:$$f(x) = \text{e}^{-x} + \ln(x)$$

1.

Calculer la limite de $f$ en 0.

2.

On admet que $f$ est dérivable sur $]0; 1]$. On note $f'$ sa fonction dérivée. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $]0; 1]$, on a:$$f'(x) = \frac{1 - x\text{e}^{-x}}{x}$$

3.

Justifier que, pour tout réel $x$ appartenant à $]0; 1]$, on a $x\text{e}^{-x} < 1$. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $]0; 1]$.

4.

Démontrer qu'il existe un unique réel $\ell$ appartenant à $]0; 1]$ tel que $f(\ell) = 0$.