Exercice 1 - Partie B : étude mathématique · Bac STI2D Physique-Chimie et Mathématiques Métropole remplacement 2022

EXERCICE 1 (4 points)

(physique-chimie et mathématiques)

Une horloge au jus d'orange

Pour mettre en évidence le principe de fonctionnement d'une pile, il est possible d'alimenter une horloge grâce à une pile rudimentaire constituée d'une électrode de cuivre et d'une électrode en magnésium plongeant dans du jus d'orange.

En réalisant l'expérience les valeurs suivantes sont relevées:

Le but de cet exercice est de modéliser le fonctionnement de cette pile à l'aide d'un modèle mathématique en cohérence avec les résultats expérimentaux mesurés.

Partie B: étude mathématique

On note $t$ le temps, exprimé en minute, écoulé depuis la mise en fonctionnement de la pile au jus d'orange.

À l'aide d'une étude expérimentale, la valeur du pH en fonction du temps peut être modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,+\infty[$ par:

$$f(t) = 6{,}571 - 2{,}671\,\mathrm{e}^{-\frac{t}{261}}$$

Une représentation graphique de $f$ est donnée ci-dessous.

1.

Calculer $f(0)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'expérience.

2. a.

Résoudre graphiquement l'équation $f(t) = 5$. Donner le résultat en heure et minute.

2. b.

Résoudre algébriquement l'équation $f(t) = 5$. Donner le résultat arrondi à la minute. Comparer ce résultat à celui obtenu à la question 2.a.

3.

Calculer $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} f(t)$. Le résultat est-il compatible avec les valeurs relevées lors de l'expérience ?