Exercice A - Forces aérodynamiques sur un volant… · Bac Sciences de l'Ingénieur Métropole 2023 (sujet 1)

On étudie le mouvement d'un volant de badminton lancé à la date $t=0,0$ s d'un point $G_0$ avec une vitesse initiale $\vec{v_0}$ de norme $v_0 = 40\ \mathrm{m/s}$ faisant un angle $\theta_0 = 60°$ avec l'horizontale. L'axe des $x$ est horizontal, l'axe des $y$ est vertical ascendant.

Volant MAVIS 370:

longueur $L = 60$ mm, rayon $R = 34$ mm, masse totale $m = 5,3$ g

Accélération de la pesanteur $g = 9,81\ \mathrm{m/s^2}$.

Q1.

Estimer, à l'aide d'une mesure graphique effectuée sur l'annexe, la valeur de la vitesse du volant à la date $t = 0,160$ s, c'est-à-dire la vitesse au point $G_4$.

m/s

Q2.

Représenter cette vitesse sur la chronophotographie donnée en annexe (échelle: 1,0 cm pour 5,0 m/s).

On suppose dans un premier temps que l'action de l'air est négligeable devant le poids du volant.

Q3.

En appliquant la deuxième loi de Newton au volant lancé, à l'instant $t=0,0$ s, avec une vitesse initiale $\vec{v_0}$ faisant un angle $\theta_0$ avec l'horizontale, montrer que les équations horaires des coordonnées $v_x$ et $v_y$ de son vecteur vitesse $\vec{v}$ s'écrivent: $v_x = v_0\cos(\theta_0)$ et $v_y = -g\times t + v_0\sin(\theta_0)$.

Q4.

Déterminer les valeurs des coordonnées $v_x$ et $v_y$ de la vitesse à la date $t = 0,160$ s.

m/s

m/s

Q5.

En déduire, dans le cadre de ce modèle, la valeur de la vitesse à cette date. Commenter en la comparant à celle déterminée à la question Q1.

m/s

Parmi les forces à prendre en compte dans l'étude de ce mouvement, il existe une action modélisée par une force appelée force de traînée. La force de traînée peut être modélisée par l'expression $\vec{F_D} = -k\times v\times\vec{v}$ où $k = 1,4\times10^{-3}\ \mathrm{kg\cdot m^{-1}}$ est une constante dépendant entre autre de la masse volumique de l'air et de la dimension du projectile, $v$ la norme du vecteur vitesse $\vec{v}$.

Q6.

Représenter sans souci d'échelle le vecteur force de traînée au point $G_1$ sur l'annexe.

Q7.

Montrer quantitativement que, pour une vitesse de valeur $v_0 = 40\ \mathrm{m/s}$ du volant, la force de traînée ne peut pas être négligée devant le poids.

Le graphique ci-dessous représente les trajectoires d'un volant en plume et d'un volant en plastique lancés dans les mêmes conditions.

Q8.

Analyser qualitativement ce graphique et formuler une hypothèse concernant la valeur de la force de traînée qui s'exerce sur un volant en plastique par rapport à celle qui s'exerce sur un volant en plume.