Exercice 1 - Partie 1 : L'envol de la montgolfière · Bac Physique-Chimie Métropole 2 remplacement 2024

Exercice 1 - Vol en montgolfière (11 points)

Inventée à la fin du XVIII e siècle par les frères Montgolfier, la montgolfière est la première machine ayant permis à l'Homme de voler.

L'objectif de cet exercice est d'étudier l'envol d'une montgolfière ainsi que les transferts thermiques à travers son enveloppe.

1. L'envol de la montgolfière

Une montgolfière se compose de trois parties principales: une enveloppe dont le volume est considéré constant, un système de chauffage (brûleur avec réservoir de carburant) et une nacelle.

On étudie dans cette partie l'envol de la montgolfière dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Dans cette modélisation, les seules forces prises en compte sont le poids de la montgolfière et la poussée d'Archimède exercée par l'air ambiant sur celle-ci.

Données:

masses molaires atomiques: $M(\mathrm{O}) = 16 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}$, $M(\mathrm{N}) = 14 \times 10^{-3}\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}$;

intensité de la pesanteur terrestre supposée constante: $g = 9{,}81\ \mathrm{m\cdot s^{-2}}$;

l'air, assimilé à un gaz parfait, est composé, en quantité de matière, de $80\ \%$ de diazote $\mathrm{N_2}$ et de $20\ \%$ de dioxygène $\mathrm{O_2}$;

constante des gaz parfaits: $R = 8{,}31\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}$;

conversion d'une température $\theta$ exprimée en degré Celsius en une température $T$ en Kelvin: $T(\mathrm{K}) = \theta(^\circ\mathrm{C}) + 273\ ^\circ\mathrm{C}$;

la poussée d'Archimède $\vec{\pi}_\mathrm{A}$ est une force, verticale et dirigée vers le haut, que subit tout objet plongé dans un fluide. Pour un objet de volume $V$ totalement immergé dans un fluide de masse volumique $\rho$, la valeur $\pi_\mathrm{A}$ de la poussée d'Archimède a pour expression: $$\pi_\mathrm{A} = \rho \cdot V \cdot g$$

caractéristiques de l'air extérieur au niveau du sol: masse volumique: $\rho_\mathrm{ext} = 1{,}2\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$;

température: $\theta_\mathrm{ext} = 21\ ^\circ\mathrm{C}$;

pression atmosphérique: $p_\mathrm{atm} = 1{,}0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$;

la montgolfière étudiée est constituée d'une enveloppe de volume $V$ invariable égal à $2{,}5 \times 10^3\ \mathrm{m^3}$ et d'une nacelle de volume négligeable par rapport à celui de l'enveloppe;

la masse $m_\mathrm{ens}$ de l'ensemble comprenant la nacelle, l'enveloppe, le système de chauffage et les passagers est égale à $500\ \mathrm{kg}$.

Q1.

Montrer que la valeur de la masse molaire $M_{\text{air}}$ de l'air est voisine de $29 \times 10^{-3}\text{ kg}\cdot\text{mol}^{-1}$.

Q2.

En exploitant l'équation d'état des gaz parfaits, exprimer littéralement la masse $m_{\text{int}}$ de l'air contenu à l'intérieur de l'enveloppe en fonction de la pression $p_{\text{int}}$ de l'air à l'intérieur, du volume $V$ de l'enveloppe, de la masse molaire $M_{\text{air}}$ de l'air, de la constante $R$ des gaz parfaits et de la température $T_{\text{int}}$ de l'air situé à l'intérieur de l'enveloppe.

Q3.

Exprimer le poids total du système {montgolfière + air intérieur}, noté $P_{\text{total}}$, en fonction des masses $m_{\text{ens}}$ et $m_{\text{int}}$.

Q4.

Calculer la valeur de la poussée d'Archimède $\pi_{\text{A}}$ qui s'exerce sur le système {montgolfière + air intérieur}, au niveau du sol.

Q5.

Montrer que l'expression de la valeur de la température minimale $T_{\text{min}}$ de l'air à l'intérieur de l'enveloppe pour que la montgolfière puisse décoller est:

$$T_{\text{min}} = \frac{p_{\text{int}} \cdot V \cdot M_{\text{air}}}{R \cdot \left( \dfrac{\pi_{\text{A}}}{g} - m_{\text{ens}} \right)}$$

Calculer la valeur de $T_{\text{min}}$. On admet que la pression $p_{\text{int}}$ de l'air à l'intérieur de l'enveloppe est égale à la pression atmosphérique $p_{\text{atm}} = 1{,}0 \times 10^5\text{ Pa}$.

Alors que la montgolfière est retenue au sol par des sangles, le pilote actionne les brûleurs afin que la température de l'air intérieur de l'enveloppe soit supérieure à la température $T_{\text{min}}$.

À la date $t = 0$, les sangles sont détachées et la montgolfière, initialement immobile, commence son ascension verticale, comme représenté à la figure 1. À cet instant, la valeur de la poussée d'Archimède exercée sur le système est égale à $\pi_{\text{A}} = 2{,}9 \times 10^4\text{ N}$ et la masse totale du système {montgolfière + air intérieur} est $m_{\text{tot}} = 2{,}8 \times 10^3\text{ kg}$.

Dans une modélisation simplifiée, on ne tient compte que de la poussée d'Archimède et du poids pour étudier le mouvement du ballon. On suppose également que les valeurs de ces forces restent inchangées au cours du temps.

Q6.

Déterminer la valeur de l'accélération du système {montgolfière + air intérieur}. Calculer ensuite la valeur de sa vitesse au bout de 10 s puis au bout de 1 minute d'ascension.

Q7.

Commenter les résultats obtenus à la question précédente et proposer une piste d'amélioration du modèle. On pourra s'appuyer sur les vitesses exprimées en $\text{km}\cdot\text{h}^{-1}$.